Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Dokážte, že súčin dvoch komplexných čísel je rovný nule práve vtedy, ak je aspoň jeden z činiteľov je rovný nule.

1. Nech $A=(a+ib), B=(c+id)$ sú dve komplexné čísla vyjadrené v algebraickom tvare. Potom pre ich súčin platí $A \otimes B =(ac-bd,i(ad+bc))$.
2. Tento súčin je rovný nule, práve vtedy ak platí $(ac-bd,i(ad+bc))=(0,0)$. Usporiadaná dvojica je rovná nule, práve vtedy, ak súčasne platia rovnosti $ac-bd=0,ad+bc=0$.
3. Naša úloha sa zredukovala na riešenie sústavy dvoch rovníc o dvoch neznámych. Pri riešení stačí, keď prvú rovnicu vynásobíme číslom $-b$ a druhú rovnicu číslom $a$. Po ich sčítaní dostaneme ...

Pre súčin komplexných čísel vyjadrených v goniometrickom tvare platí vlastnosť komutatívnosti a asociatívnosti. Dokážte to použitím Moivrovej vety.

Nech $A= a (cos \ \varphi +isin \ \varphi), B= b (cos\ \psi +isin\ \psi)$ sú dve komplexné čísla vyjadrené v goniometrickom tvare a $a= |A|,b= |B|$ sú absolútne hodnoty.

1. Potom pre ich súčin platí $A \otimes B =ab(cos (\varphi+ \psi) +isin (\varphi+ \psi ))$.
2. Vzhľadom na komutatívnosť sčítania v obore reálnych čísel, zrejme bude platiť
        $A \otimes B =ab(cos (\varphi+ \psi) +isin (\varphi+ \psi ))=ba(cos (\psi+\varphi) +isin (\psi+\varphi ))= B \otimes A$,
   čo je vlastnosť komutatívnosti súčinu komplexných čísel.
3. Podobne budeme postupovať pri asociatívnosti.
Pri dokazovaní komutatívnosti a asociatívnosti sčítania komplexných čísel s výhodou použijeme algebraické tvary.