Reálne a komplexné čísla
Portál: | Virtuálna Univerzita Mateja Bela |
Kurz: | Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie |
Kniha: | Reálne a komplexné čísla |
Vytlačil(a): | Hosťovský používateľ |
Dátum: | streda, 3 júla 2024, 13:34 |
Opis
reálne čísla
Reálne čísla
-
Riešte
- V množine reálnych čísel riešte rovnicu
a nerovnicu
. Viac na www.príklady.com.
- Ak k číslam 2;7;17 pripočítame to isté reálne číslo, dostaneme prvé tri členy geometrickej postupnosti. Aké číslo sme pripočítali?
-
Ukážte, že
nie sú racionálne čísla.
- Vyjadrite graficky reálne čísla
pomocou jednotkovej úsečky.
-
Na obrázku je znázornená oblasť
, ktorá vznikla z rovnostranného trojuholníka
s dĺžkou strany a vyrezaním štvorca vpísaného do vpísanej kružnice
. Vypočítajte obsah oblasti
.
Bača, M. a kol.: Zbierka riešených a neriešených úloh z matematiky. TU v Košiciach, 2011, str. 118. Dostupné Tu
Komplexné čísla
- Dokážte, že súčin dvoch komplexných čísel je rovný nule práve vtedy, ak je aspoň jeden z činiteľov je rovný nule.
- Pre súčin komplexných čísel vyjadrených v goniometrickom tvare platí vlastnosť komutatívnosti a asociatívnosti. Dokážte to použitím Moivrovej vety.
- Nájdite druhú odmocninu komplexného čísla resp. nájdite komplexný koreň rovnice
, ak
.
- Riešte rovnice obore komplexných čísel
-
Ukážte, že korene kvadratickej rovnice
majú tvar
.
- Nájdite inverzný prvok k číslu
.
- Vypočítajte
, ak
.
Riešenie 1. a 2. úlohy
Dokážte, že súčin dvoch komplexných čísel je rovný nule práve vtedy, ak je aspoň jeden z činiteľov je rovný nule.
-
Nech
sú dve komplexné čísla vyjadrené v algebraickom tvare. Potom pre ich súčin platí
.
-
Tento súčin je rovný nule, práve vtedy ak platí
. Usporiadaná dvojica je rovná nule, práve vtedy, ak súčasne platia rovnosti
.
-
Naša úloha sa zredukovala na riešenie sústavy dvoch rovníc o dvoch neznámych. Pri riešení stačí, keď prvú rovnicu vynásobíme číslom
a druhú rovnicu číslom
. Po ich sčítaní dostaneme ...
Pre súčin komplexných čísel vyjadrených v goniometrickom tvare platí vlastnosť komutatívnosti a asociatívnosti. Dokážte to použitím Moivrovej vety.
Nech
sú dve komplexné čísla vyjadrené v goniometrickom tvare a
sú
absolútne hodnoty.
![A= a (cos \ \varphi +isin \ \varphi), B= b (cos\ \psi +isin\ \psi) A= a (cos \ \varphi +isin \ \varphi), B= b (cos\ \psi +isin\ \psi)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ec23fe7c3857bf9ac6220224e30bba07.png)
![a= |A|,b= |B| a= |A|,b= |B|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5afa13cfed8626457c65abf9aa44bdf8.png)
- Potom pre ich súčin platí
.
- Vzhľadom na komutatívnosť sčítania v obore reálnych čísel, zrejme bude platiť
,
čo je vlastnosť komutatívnosti súčinu komplexných čísel. - Podobne budeme postupovať pri asociatívnosti. Pri dokazovaní komutatívnosti a asociatívnosti sčítania komplexných čísel s výhodou použijeme algebraické tvary.
Riešenie 3. až 7. úlohy
-
Nech
a nech je daná rovnica
.
- Po dosadení a použitím Moivreovej vety dostaneme
- ľavá i pravá strana sú komplexné čísla, ktorá sa rovnajú práve vtedy, ak
, odkiaľ
dostávame riešenie:.
- Najskôr upravme zlomok
- Pozri v práci: Kvadratická rovnice a odmocnina z komplexního čísla. Tu.
- Riešte rovnicu