Reálne a komplexné čísla

1. Dokážte, že súčin dvoch komplexných čísel je rovný nule práve vtedy, ak je aspoň jeden z činiteľov je rovný nule.
2. Pre súčin komplexných čísel vyjadrených v goniometrickom tvare platí vlastnosť komutatívnosti a asociatívnosti. Dokážte to použitím Moivrovej vety.
3. Nájdite druhú odmocninu komplexného čísla resp. nájdite komplexný koreň rovnice $x^2=a$, ak $x = |x| (cos \varphi + i sin \varphi), a = |a| (cos \psi + i sin \psi )$. 
   
4. Riešte rovnice obore komplexných čísel
• $\frac{1+i}{1-i} + \frac{1}{z} =1+i$
• $iz^2 - (3 - 2i) z - 6 = 0$
• $z^2 - 2iz - 1 = 0$.
5. Ukážte, že korene kvadratickej rovnice $z^2 + pz + q = 0,\ \ p,q \in C$ majú tvar $z_{1,2} = \frac{-p \pm\sqrt{p^2-4q}} {2}$.
6. Nájdite inverzný prvok k číslu $(-1,5)$.
7. Vypočítajte $z^5$, ak $z=2-i$.
   

Dokážte, že súčin dvoch komplexných čísel je rovný nule práve vtedy, ak je aspoň jeden z činiteľov je rovný nule.

1. Nech $A=(a+ib), B=(c+id)$ sú dve komplexné čísla vyjadrené v algebraickom tvare. Potom pre ich súčin platí $A \otimes B =(ac-bd,i(ad+bc))$.
2. Tento súčin je rovný nule, práve vtedy ak platí $(ac-bd,i(ad+bc))=(0,0)$. Usporiadaná dvojica je rovná nule, práve vtedy, ak súčasne platia rovnosti $ac-bd=0,ad+bc=0$.
3. Naša úloha sa zredukovala na riešenie sústavy dvoch rovníc o dvoch neznámych. Pri riešení stačí, keď prvú rovnicu vynásobíme číslom $-b$ a druhú rovnicu číslom $a$. Po ich sčítaní dostaneme ...

Pre súčin komplexných čísel vyjadrených v goniometrickom tvare platí vlastnosť komutatívnosti a asociatívnosti. Dokážte to použitím Moivrovej vety.

Nech $A= a (cos \ \varphi +isin \ \varphi), B= b (cos\ \psi +isin\ \psi)$ sú dve komplexné čísla vyjadrené v goniometrickom tvare a $a= |A|,b= |B|$ sú absolútne hodnoty.

1. Potom pre ich súčin platí $A \otimes B =ab(cos (\varphi+ \psi) +isin (\varphi+ \psi ))$.
2. Vzhľadom na komutatívnosť sčítania v obore reálnych čísel, zrejme bude platiť
        $A \otimes B =ab(cos (\varphi+ \psi) +isin (\varphi+ \psi ))=ba(cos (\psi+\varphi) +isin (\psi+\varphi ))= B \otimes A$,
   čo je vlastnosť komutatívnosti súčinu komplexných čísel.
3. Podobne budeme postupovať pri asociatívnosti.
Pri dokazovaní komutatívnosti a asociatívnosti sčítania komplexných čísel s výhodou použijeme algebraické tvary.

1. Nájdite druhú odmocninu komplexného čísla resp. nájdite komplexný koreň rovnice $x^2=a$, ak $x = |x| (cos \varphi + i sin \varphi), a = |a| (cos \psi + i sin \psi )$. 
   
2. Riešte rovnice obore komplexných čísel
• $\frac{1+i}{1-i} + \frac{1}{z} =1+i$
• $iz^2 - (3 - 2i) z - 6 = 0$
• $z^2 - 2iz - 1 = 0$.
3. Ukážte, že korene kvadratickej rovnice $z^2 + pz + q = 0,\ \ p,q \in C$ majú tvar $z_{1,2} = \frac{-p \pm\sqrt{p^2-4q}} {2}$.
4. Nájdite inverzný prvok k číslu $(-1,5)$.
5. Vypočítajte $z^5$, ak $z=2-i$.
   

1. Nech $x = |x| (cos \varphi + i sin \varphi), a = |a| (cos \psi + i sin \psi )$ a nech je daná rovnica $x^2=a$.
• Po dosadení a použitím Moivreovej vety dostaneme $|x|^2 (cos\ 2\varphi + i sin\ 2\varphi)= |a| (cos\ \psi + i sin\ \psi )$
• ľavá i pravá strana sú komplexné čísla, ktorá sa rovnajú práve vtedy, ak $|x|^2=|a| \wedge \ 2\varphi = (\psi +2k \pi)$, odkiaľ
  dostávame riešenie: $|x|=\sqrt {|a|} \wedge \ \varphi = \frac{\psi}{2} +k \pi$.
2. Najskôr upravme zlomok $\frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)^4}{(1-i)^2(1+i)^2}= \frac{(2i)^2}{4} =-1$
• tým sa pôvodná rovnica redukuje na tvar $-1 + \frac{1}{z} =1+i \Leftrightarrow 1=(2+i)z, z \neq0$, odkiaľ
  dostávame riešenie: $\frac{1}{2+i}=\frac{2-i}{5}$.
3. Pozri v práci: Kvadratická rovnice a odmocnina z komplexního čísla. Tu.
4. Riešte rovnicu $(-1,5) \otimes (a, b)=(1,0) \Leftrightarrow (-a-5b=1\ \wedge \ 5a-b=0)$