Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Riešenie rovníc typu $x^n=a$ ak reálne číslo $a$ je záporné

Nech reálne číslo $a$ je záporné a nech $n$ je kladné celé číslo, potom rovnica $x^n=a$

1. V prípade, že $n$ je párne celé číslo, potom rovnica $x^n=a$
   • nemá riešenie v obore reálnych čísel
   • v obore komplexných má $\frac{n}{2}$ komplexne združených koreňov (Riešte $x^4=-16$).
2. Ak je $n$ nepárne, potom rovnica $x^n=a$ má jeden reálny koreň $-(a^{ \frac{1}{n} } )>0$ a $\frac{n-1}{2}$ komplexne združených koreňov (Riešte $x^3=-8$).

Nech reálne číslo $a$ je záporné a nech $n= \frac{r}{s}$ je racionálny exponent ($\frac{r}{s}$ je v základnom tvare), potom pre

1. $r$ celé nepárne číslo a $s$ párne celé číslo rovnica $x^n=a$ má riešenie. Napríklad
   $x^{ \frac{3}{2} }=-27 \Leftrightarrow (-27)^{ \frac{2}{3} }= \sqrt[3]{(-27)^2} = \sqrt[3]{27^2} = \sqrt[3]{9^3} =9>0$
   odkiaľ dostávame: $a^{ \frac{s}{r}} >0$ pre $r=2k+1,s=2l$
2. $r$ celé nepárne číslo a $s$ nepárne celé číslo rovnica $x^n=a$ má riešenie. Napríklad
   $x^{ \frac{3}{1} }=-27 \Leftrightarrow (-27)^{ \frac{1}{3} }= \sqrt[3]{(-27)^1} = -3$
   odkiaľ dostávame: $a^{ \frac{s}{r}}$ pre $r=2k+1,s=2l+1$.

Nech reálne číslo $a$ je záporné, potom v len prípadoch (1. aj 2.) je možné robiť úpravy typu
$a^{ \frac {r} {s} }=(a^r )^{ \frac{1}{s} }= \sqrt[s]{a^r} = ( \sqrt[s]{a} )^r=(a^{\frac{1}{s}} )^r$

Ak reálne číslo $a$ je záporné a

$r$ celé párne číslo a $s$ párne alebo
$r$ celé párne číslo a $s$ nepárne,
tak úpravy uvedené v predchádzajúcom odseku nie je možné použiť! To je ekvivalentné tvrdeniu, že rovnica
$x^{\frac{s}{r}}=a$
nemá riešenie. Interpretujte to v GeoGebre.

Z uvedeného vyplýva, že mocnina s racionálnym exponentom existuje aj pre záporný základ ale v tom prípade musí byť exponent „nepárny“ (prípady 1. a 2.).