Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Operáciu násobenia dvoch reálnych čísel zavedieme pomocou súčinu kladných Dedekindových rezov.

Definícia

1. Rez $\alpha \subset Q$ nazveme kladným Dedekindových rezom, ak dolná časť rezu obsahuje aspoň jedno kladné racionálne číslo:
          $\alpha$ je kladný $\Leftrightarrow$ $\exists a \in Q \wedge a >0 ;a \in \alpha$. 
2. Množinu všetkých kladných rezov označíme symbolom $R^+$.
• ak $\alpha \in R^+$ je kladný rez, potom $-\alpha$ nazývame záporný rez 
• rez $0^ \ast = \lbrace{x \in Q, x < 0 }\rbrace$ nazývame nulový rez.
• množinu všetkých záporných rezov označíme symbolom $R^-$.
3. Pre kladné rezy $\alpha, \beta$ zaveďme súčin kladných rezov:
       $\alpha \otimes \beta= \lbrace{a \cdot b;a \in \alpha,b \in \beta \ \wedge \ a,b > 0}\rbrace \cup \lbrace{a \in Q; a \leq 0}\rbrace$.
vytvárame všetky možné súčiny kladných racionálnych čísel z obidvoch rezov, ku ktorým pridáme všetky záporné racionálne čísla vrátane nuly.

Súčin rezov
Nech $\alpha, \beta \in R$ sú dva Dedekindove rezy, potom ich súčin $\alpha \otimes \beta$ definujeme takto:

1.  $\alpha \otimes \beta$               ak $\alpha \in R^+ \wedge \beta \in R^+$
2. $-((-\alpha) \otimes \beta)$   ak $\alpha \in R^- \wedge \beta \in R^+$
3. $-(\alpha \otimes (-\beta))$   ak $\alpha \in R^+ \wedge \beta \in R^-$
4. $(-\alpha) \otimes (-\beta)$   ak $\alpha \in R^- \wedge \beta \in R^-$
5.       $0^ \ast$                 ak $\alpha = 0^ \ast \vee \beta = 0^ \ast$