Reálne a komplexné čísla
Reálne a komplexné čísla
Dedekindove rezy
Súčet reálnych čísel
Nech
sú dva rezy na množine racionálnych čísel:
. V ďalšej časti využijeme fakt, že už vieme sčítať resp. vynásobiť dve racionálne čísla.
![α,β α,β](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/89e110eb9e3defd56b4f72e8a18bd59f.png)
![\alpha \subset Q, \beta \subset Q \alpha \subset Q, \beta \subset Q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/49ae618fdd3fef23f2f31ef6460a3089.png)
Vytvorme množinu
![\alpha \oplus \beta \alpha \oplus \beta](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/95a93474ae1e42439f95c5d091234c6d.png)
![a+b a+b](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/65c884f742c8591808a121a828bc09f8.png)
![a \in \alpha, b \in \beta a \in \alpha, b \in \beta](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1c7f06566a13958b8e93bdf50e761e51.png)
- Množiny
sú neprázdne, preto existujú prvky
. Množina
je neprázdna, lebo obsahuje racionálne číslo
.
- Ukážeme, že množina
je neprázdna. Množiny
sú rezmi, preto existujú prvky
Zrejme pre ľubovoľné prvky
- Nech
, potom platí
, kde
. Nech
je racionálne číslo, pre ktoré platí
(resp.
). Po dosadení dostaneme
,
čo znamená, žeje súčtom dvoch racionálnych čísel.
- Množina
nemá najväčší prvok. V opačnom prípade, ak by
bol najväčší prvok, tak musia existovať dve racionálne čísla
, pričom
. Bez ujmy na všeobecnosti predpokladajme, že
.
Keďžeje tiež rez, tak nemá najväčší prvok. Musí existovať racionálne číslo
s vlastnosťou
. Relácia
je monotónna, preto
,
čo je spor s predpokladom, že
![a \in \alpha, b \in \beta a \in \alpha, b \in \beta](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/61efb0dc9a69327704c849201d1b73f4.png)
![a+b < a'+b' a+b < a'+b'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a4237ec03b896067d2fb8f3f7c64697b.png)
To znamená, že
![a'+b'\notin \alpha \oplus \beta a'+b'\notin \alpha \oplus \beta](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7e15b29ebaa72041730dab4b90c81b7c.png)
![\alpha \oplus \beta \neq Q \alpha \oplus \beta \neq Q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f4535b869a07399663aa530680a1ce6d.png)
![K K](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4c2108477fb2ec15b2eed0538b16aaea.png)
Definícia
Majme Dedekindove rezy
na množine racionálnych čísel. Množinu
nazveme súčtom reálnych čísel.
Majme Dedekindove rezy
![\alpha, \beta \alpha, \beta](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/129040bc966cff8a092e84ff7b47a9e3.png)
![\alpha \oplus \beta= \lbrace{a+b;a \in \alpha, b \in \beta }\rbrace \alpha \oplus \beta= \lbrace{a+b;a \in \alpha, b \in \beta }\rbrace](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1ebcac7bdf7b0b8081b775c57415ff82.png)