Dedekindove rezy

Súčet reálnych čísel

Nech α,β sú dva rezy na množine racionálnych čísel: \alpha \subset Q, \beta \subset Q . V ďalšej časti využijeme fakt, že už vieme sčítať resp. vynásobiť dve racionálne čísla.
Definícia
Množinu \alpha \oplus \beta= \lbrace{a+b;a \in \alpha \wedge b \in \beta }\rbrace všetkých možných súčtov nazveme súčtom Dedekindových rezov.
                 
Veta
Množina \alpha \oplus \beta je rezom na množine racionálnych čísel.

Vytvorme množinu \alpha \oplus \beta všetkých možných (racionálnych) súčtov a+b, kde a \in \alpha, b \in \beta sú racionálne čísla.
  1. Množiny \alpha, \beta sú neprázdne, preto existujú prvky a \in \alpha, b \in \beta . Množina \alpha \oplus \beta je neprázdna, lebo obsahuje racionálne číslo
    r=a+b .
  2. Ukážeme, že množina Q-( \alpha \oplus \beta ) je neprázdna. Množiny \alpha, \beta sú rezmi, preto existujú prvky
    a' \notin \alpha, b' \notin \beta
    3. Zrejme pre ľubovoľné prvky a \in \alpha, b \in \beta platí
    a+b < a'+b'.
    To znamená, že a'+b'\notin \alpha \oplus \beta , odkiaľ dostávame, že \alpha \oplus \beta \neq Q .
  3. Nech r \in \alpha \oplus \beta , potom platí r=r_1+r_2 , kde r_1 \in \alpha, r_2 \in \beta . Nech r' je racionálne číslo, pre ktoré platí r'< r (resp. r=r' + k ). Po dosadení dostaneme
    r' =r-k=r_1+(r_2-k),
    čo znamená, že r' je súčtom dvoch racionálnych čísel.
  4. Množina \alpha \oplus \beta nemá najväčší prvok. V opačnom prípade, ak by K \in \alpha \oplus \beta bol najväčší prvok, tak musia existovať dve racionálne čísla a \in \alpha , b \in \beta , pričom K=a+b . Bez ujmy na všeobecnosti predpokladajme, že a \leq b .
                   
    Keďže \alpha je tiež rez, tak nemá najväčší prvok. Musí existovať racionálne číslo a'\in \alpha s vlastnosťou a < a' . Relácia     je monotónna, preto
              K=a+b < a'+b ,
    5. čo je spor s predpokladom, že   K je najväčším prvkom. Tieto tvrdenia nás oprávňujú definovať súčet reálnych ako súčet dedekindových rezov.
Definícia 
Majme Dedekindove rezy \alpha, \beta na množine racionálnych čísel. Množinu \alpha \oplus \beta= \lbrace{a+b;a \in \alpha, b \in \beta }\rbrace nazveme súčtom reálnych čísel.
Pri skúmaní vlastností algebraickej štrutúry (R,\oplus, \otimes) musíme poznať/definovať aj odpovedajúce inverzné prvky. Tiež musíme dokázať niekoľko pomocných tvrdení. Napríklad tvrdenia týkajúce sa súčtu rezov:
  1. Podmnožina -\alpha= \lbrace{x \in Q ; \exists a \in \alpha': x \leq -a }\rbrace je tiež Dedekindov rez.
  2. Pre ľubovoľný rez \alpha platí: -\alpha \oplus \alpha=0^ \ast .
Terminológia
  1. Podmnožinu -\alpha \subset Q nazveme opačným Dedekindových rezom.
  2. Množinu všetkých kladných resp. záporných rezov označíme symbolom R^+ resp. R^- .
\( .\)