Reálne a komplexné čísla
Reálne a komplexné čísla
Dedekindove rezy
Reálne čísla zavedieme pomocou Dedekindových rezov na množine racionálnych čísel.
Podmnožinu
nazývame Dedekindovým rezom množiny
, ak
Dolná časť nemá najväčší prvok.
![\alpha \subset Q \alpha \subset Q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/87e33ed9df5348df0c39bd4bcbeca20c.png)
![Q Q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3ec7122626586a9a4462755e4b66ea40.png)
- podmnožina
je neprázdna množina:
- doplnok
podmnožiny
v množine
je tiež neprázdny:
.
- Nech
je prvkom rezu
a nech
má vlastnosť
. Potom musí aj racionálne číslo
patriť do rezu:
.
- Rez
nemá najväčší prvok. Ak
, tak existuje
, pre ktoré je
.
Dolná časť nemá najväčší prvok.
Definícia.
Množinu všetkých rezov množiny
označíme symbolom
. Prvky patriace do množiny
nazývame reálne čísla.
Množinu všetkých rezov množiny
![Q Q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3ec7122626586a9a4462755e4b66ea40.png)
![R R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/75695b46abca7ce53dfa3b4e984a45ca.png)
![R R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/75695b46abca7ce53dfa3b4e984a45ca.png)
Množinu reálnych čísel sme vytvorili pomocou už známej množiny racionálnych čísel. Proces tvorby sa opiera o podmnožiny
, ktoré majú predpísané štyri vlastnosti.
![\alpha \subset Q \alpha \subset Q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/89829d8c0ee238e82523e797bda3dcd8.png)
-
Prvé dve vlastnosti hovoria, že za podmnožinu
nemôžeme vziať prázdnu množinu ani množinu všetkých racionálnych čísel.
-
Tretia vlastnosť požaduje, aby podmnožina
bola „slušne“ usporiadaná:
- ak podmnožina
obsahuje racionálne číslo
, tak táto podmnožina musí obsahovať aj všetky racionálne čísla menšie od čísla
- ak by sme na číselnej osi zobrazili bod
reprezentujúci racionálne číslo
, tak podmnožina
musí obsahovať polpriamku smerujúcu doľava od bodu
.
-
Štvrtú vlastnosť si môžeme interpretovať ako podmnožinu
, ktorá zodpovedá sprava otvorenému intervalu
.
- Reálne čísla, ktoré nie sú racionálne budeme nazývať iracionálne čísla
Vlastnosti rezov.
- Dedekindove rezy, ktorých horná časť má najmenší prvok predstavujú racionálne číslo.
- Nech
je ľubovoľné ale pevne zvolené racionálne číslo, potom podmnožina
je rezom. Dokážte to.
- Podmnožina
reprezentuje racionálne číslo
- množina
je tiež Dedekindov rez, ktorý (ako neskôr ukážeme) má vlastnosť neutrálneho prvku vzhľadom na sčítanie.
- ukážte, že zobrazenie
je injektívne.
- V bode 2. zameňte výrokovú formu
za
. Dostanete rez
, ktorý reprezentuje iracionálne číslo
.