Dedekindove rezy

Reálne čísla zavedieme pomocou Dedekindových rezov na množine racionálnych čísel.
Podmnožinu \alpha \subset Q nazývame Dedekindovým rezom množiny Q , ak
  1. podmnožina \alpha je neprázdna množina: \alpha \neq \emptyset
  2. doplnok \alpha' podmnožiny \alpha v množine Q je tiež neprázdny: \alpha'= Q-\alpha \neq \emptyset .
  3. Nech a je prvkom rezu \alpha a nech b \in Q má vlastnosť b \leq a . Potom musí aj racionálne číslo b patriť do rezu: b \in \alpha .
  4. Rez \alpha nemá najväčší prvok. Ak a \in \alpha , tak existuje a' \in \alpha , pre ktoré je a < a' . 
Dedekindov rez si môžeme predstaviť ako rez číselnej osi na dve časti: dolnú a hornú časť.

Dolná časť nemá najväčší prvok.
Definícia. 
Množinu všetkých rezov množiny Q označíme symbolom R . Prvky patriace do množiny R nazývame reálne čísla.
Množinu reálnych čísel sme vytvorili pomocou už známej množiny racionálnych čísel. Proces tvorby sa opiera o podmnožiny \alpha \subset Q , ktoré majú predpísané štyri vlastnosti.
  1. Prvé dve vlastnosti hovoria, že za podmnožinu \alpha nemôžeme vziať prázdnu množinu ani množinu všetkých racionálnych čísel.
  2. Tretia vlastnosť požaduje, aby podmnožina \alpha \subset Q bola „slušne“ usporiadaná:
    • ak podmnožina \alpha obsahuje racionálne číslo a , tak táto podmnožina musí obsahovať aj všetky racionálne čísla menšie od čísla a
    • ak by sme na číselnej osi zobrazili bod A reprezentujúci racionálne číslo a \in Q , tak podmnožina \alpha musí obsahovať polpriamku smerujúcu doľava od bodu A .
  3. Štvrtú vlastnosť si môžeme interpretovať ako podmnožinu  \alpha \subset Q , ktorá zodpovedá sprava otvorenému intervalu (- \infty, \alpha) .
  4. Reálne čísla, ktoré nie sú racionálne budeme nazývať iracionálne čísla
    • príkladmi iracionálnych čísel sú druhé odmocniny z prvočísel, číslo \pi alebo prirodzený základ logaritmov e . 
Vlastnosti rezov.
  1. Dedekindove rezy, ktorých horná časť má najmenší prvok predstavujú racionálne číslo.
  2. Nech r \in Q je ľubovoľné ale pevne zvolené racionálne číslo, potom podmnožina r^ \ast = \lbrace{ x\in Q; x < r} \rbrace je rezom. Dokážte to.
  3. Podmnožina r^ \ast reprezentuje racionálne číslo r  
    • množina 0^ \ast je tiež Dedekindov rez, ktorý (ako neskôr ukážeme) má vlastnosť neutrálneho prvku vzhľadom na sčítanie.
    • ukážte, že zobrazenie \ast : Q \rightarrow R je injektívne.
  4. V bode 2. zameňte výrokovú formu x < r za x^2 < 2 . Dostanete rez \rho = \lbrace{ x\in Q; x^2 < 2} \rbrace , ktorý reprezentuje iracionálne číslo \sqrt {2} . 
\( .\)