Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Matematik Pytagorovej školy Hippasus (5. stor. pred n. l.) ukázal, že uhlopriečka štvorca s jednotkovou stranou nemôže byť vyjadrená racionálnym číslom¹⁾

S využitím vlastností deliteľnosti ukážeme, že táto rovnica nemá v obore racionálnych čísel $Q$ riešenie.  

Dôkaz.
Nech existuje racionálne číslo $r \in Q$, ktoré je riešením  rovnice $x^2=2$. Potom zrejme $r= \frac{p}{q}$, pričom celé čísla $p,q$ sú nesúdeliteľné. Najväčší spoločný deliteľ čísel $p,q$ je rovný $1$.
Po dosadení do rovnice $x^2=2$ a po ekvivalentných úpravách dostaneme rovnosť $p^2=2.q^2$. Na pravej strane rovnosti je určite číslo párne. Z vlastností deliteľnosti celých čísel vyplýva, že číslo $2$ delí číslo na pravej strane rovnosti a zároveň musí deliť aj číslo na ľavej strane rovnosti. Využijeme skutočnosť, že druhá mocnina párneho čísla je opäť párne číslo a druhá mocnina nepárneho čísla je nepárne číslo. Teda číslo $p^2$ je párne, preto musí byť aj číslo $p$ párne. (Dokážte to). To znamená, že je v tvare $p=2k$. Po dosadení do rovnosti $p^2=2.q^2$ dostávame
            $(2k)^2=2.q^2 \Leftrightarrow 2k^2=q^2$ .
Analogickou úvahou zistíme, že číslo $q$ je párne. Keďže aj číslo $p$ je párne, tak najväčší spoločný deliteľ čísel $p,q$ je väčší alebo rovný číslu $2$.
To je spor s našim predpokladom, že riešením je racionálne číslo $r= \frac{p}{q}$, kde $p,q$ sú nesúdeliteľné celé čísla. Pozrite si zápis dôkazu v GeoGebre Tu.