Reálne a komplexné čísla
Reálne a komplexné čísla
Množina reálnych čísel
Pri definovaní pojmu reálne číslo vychádzame z existujúcej množiny racionálnych čísel, ale rozšírenie neurobíme pomocou karteziánskeho súčinu.
Konštrukcia, ktorá popíše reálne číslo vychádza z "rezov" na množine racionálnych čísel.
Konštrukcia, ktorá popíše reálne číslo vychádza z "rezov" na množine racionálnych čísel.
- Termín reálne číslo zaviedol René Descartes (1637) ako spoločný názov pre racionálne a iracionálne čísla.
-
V staroveku už boli známe iracionálne čísla ako odmocniny niektorých prirodzených čísel
.
-
Euler (1737) dokázal, že číslo
je iracionálne a Lambert ((1768) dokázal, že Ludolfovo číslo
je iracionálne.
- Charles Hermit (1873) ukázal, že číslo
je transcendentné - nie je riešením algebraickej rovnice s celočíselnými koeficientami.
-
Zo strednej školy si možno pamätáte, že
má nekonečný a neperiodický dekadický rozvoj.
- dokonca niektorí si pamätajú aj niekoľko cifier za desatinnou čiarkou, napr.
- na stránke Wikipédie môžeme nájsť až 10 miliónov cifier
- vyjadriť
konečným počtom cifier sa nikomu nemôže podariť
- existuje racionálne číslo, ktoré aproximuje
s danou presnosťou.
- Vieme nájsť vhodnú postupnosť racionálnych čísel, ktorej členy sa budú „približovať“ k druhej odmocnine z dvoch.
- Ak vezmeme do úvahy všetky možné konvergentné postupnosti racionálnych čísel, tak ich limity budú zahŕňať aj čísla typu
.
- V nasledujúcich kapitolách popíšeme dedekindove rezy, pomocou ktorých definujeme reálne čísla.