Funkcie
Funkcie
Poňatie funkcie jednej premennej v školskej matematike
Na základe historického vývoja pojmu funkcia postupne v školskej matematike sa vykryštalizovali tri základné poňatia pojmu funkcia
- Veličinové – závislosť premenných veličín (geometrických, fyzikálnych, ...)
- Množinové – priraďovanie medzi prvkami daných množín (pilierové na 1. st. ZŠ)
- Abstraktné – funkcia ako binárna relácia (číselné funkcie)
Na vhodných príkladoch závislostí medzi dvoma množinami
možno žiakom odvodiť pravidlo, že vždy jednému prvku množiny
zodpovedá najviac jeden prvok množiny
. Je vhodné pripomenúť, že naopak to neplatí. Napr. namerané teploty každú celú hodinu v jednom dni.
![A, B A, B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/72f3a84b55c4b9374aedd136d7fc7d3d.png)
![A A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/951196ca354c5c72b8356494f97c3b5d.png)
![B B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/73bc9851270421c3a7e7dd37621d0dda.png)
Funkcia na množine
je predpis, ktorý každému číslu
z množiny priraďuje práve jedno reálne číslo. Množina
sa nazýva definičný obor.
![A \subset R A \subset R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/173d55f7a44f7bfdfef729b5ad01e626.png)
![x \in A x \in A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a01c409c386a1a69b17d92bf6ebc81c2.png)
![A A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/951196ca354c5c72b8356494f97c3b5d.png)
Zápis funkcie môže vyzerať napríklad nasledovne:
je
. Hovoríme: hodnota funkcie v bode 4 je rovná 5. Namiesto označenia hodnota funkcie budeme používať termín funkčná hodnota.
→
![x=4 x=4](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/96bc06537ddf37f89d197dba6f61ac21.png)
![f(4)=5 f(4)=5](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/54de1426ab7e7d5da93258923e3bd921.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/159052/mod_book/chapter/2829/FunkciaDefObor1.png)
Množinu všetkých funkčných hodnôt, ktoré funkcia v danom definičnom obore nadobúda, nazývame odbor hodnôt funkcie. Značíme ho symbolom ![H_f H_f](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b4dd9894003fb7f03d81c43ddebf2b7d.png)
![H_f H_f](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b4dd9894003fb7f03d81c43ddebf2b7d.png)
Poznámky.
Definičný obor označujeme ho symbolom
.
Odbor hodnôt funkcie
je množina všetkých
, ku ktorým existuje aspoň jedno
z definičného oboru funkcie
tak, že platí
.
Pojmy závislosť, vzťah, priradenie, predpis nie sú matematicky definované pojmy. Používajú sa ako pomocné pojmy v rôznych intuitívnych významoch.
Matematicky vzťah medzi prvkami dvoch množín sa matematicky definuje ako binárna relácia medzi týmito množinami.
Definičný obor označujeme ho symbolom
![D_f D_f](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/490a828fbdf94c379be6146c24ffdff0.png)
Odbor hodnôt funkcie
![f f](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ce40937fdfbd06b8a15244e102a09356.png)
![y \in R y \in R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8c644269b19b68cf8f227dd03d3650b8.png)
![x x](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6722c218a6f30869ef6886dc4b050a37.png)
![f f](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ce40937fdfbd06b8a15244e102a09356.png)
![y=f(x) y=f(x)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2bd7d268d63ace5c6845342797692af9.png)
Pojmy závislosť, vzťah, priradenie, predpis nie sú matematicky definované pojmy. Používajú sa ako pomocné pojmy v rôznych intuitívnych významoch.
Matematicky vzťah medzi prvkami dvoch množín sa matematicky definuje ako binárna relácia medzi týmito množinami.
Príklad. Určte definičné obory a obory funkcií ... a vytvorte vhodný applet v prostredí GeoGebra.