Komplexné čísla na strednej škole
Komplexné čísla na strednej škole
Zobrazenie množiny všetkých komplexných čísel
na množinu bodov euklidovskej roviny
je vzájomne jednoznačné. Táto rovina sa potom nazýva Gaussova rovina.
![\mathbb{C} \mathbb{C}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/88186b707564581b3c0fbd50e1edfd38.png)
![E_2 E_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e55044934f5aa6b3be6399f1ac65ee38.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/159051/mod_book/chapter/2818/KomplexneRovina.png)
Z definície goniometrických funkcií sínus a kosínus vyplýva , že platia rovnosti:
(1) sin
, cos
,
kde
a
je orientovaný uhol ∢XOZ.
(1) sin
![\phi =\frac{b}{r} \phi =\frac{b}{r}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/885889d62e3f73495ed74e06f31543f1.png)
![\phi =\frac{a}{r} \phi =\frac{a}{r}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e87c5886983e5d693533ed0ff80f638b.png)
kde
![r= \sqrt[]{a^2+b^2} r= \sqrt[]{a^2+b^2}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3dc55d8a6ad1e8caa1e3b68c6e862d1e.png)
![\phi \phi](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d81f4d947c4c02cd2772e375b4c58956.png)
Číslo
predstavuje veľkosť vektora
. Na základe definície absolútnej hodnoty
komplexného čísla
platí
. Odkiaľ dostávame, že
.
Z rovností (1) môžeme vyjadriť reálnu aj imaginárnu zložku komplexného čísla
. Dostaneme
![a=r \cdot \cos \phi , b=r \cdot \sin \phi a=r \cdot \cos \phi , b=r \cdot \sin \phi](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/814ee8ff8f25f5eaaf515500b37960fa.png)
Vypočítané hodnoty môžeme dosadiť do algebrického tvaru komplexného čísla
.
Dostaneme zápis resp. nový tvar komplexného čísla
cos
sin
ktorý nazývame goniometrický tvar komplexného čísla.
![r r](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1af9dcecc465950e25f7153943970180.png)
![\vec{OZ} \vec{OZ}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/dddbb383a879a32b17a946c46ab3d2be.png)
![|z| |z|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/68ff72cc7dfecbb2029d08771676af54.png)
![z=(a,b) z=(a,b)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/04d7c0931ecc39fb1c6d42971f4ee185.png)
![|z|= \sqrt[]{a^2+b^2 } |z|= \sqrt[]{a^2+b^2 }](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/573976f8bded85cf312bf40c882f9559.png)
![r= \left| \begin{matrix} z \end{matrix} \right| r= \left| \begin{matrix} z \end{matrix} \right|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/932cdd60705398446552ec121fbfe1b4.png)
Z rovností (1) môžeme vyjadriť reálnu aj imaginárnu zložku komplexného čísla
![z=(a,b) z=(a,b)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/04d7c0931ecc39fb1c6d42971f4ee185.png)
![a=r \cdot \cos \phi , b=r \cdot \sin \phi a=r \cdot \cos \phi , b=r \cdot \sin \phi](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/814ee8ff8f25f5eaaf515500b37960fa.png)
Vypočítané hodnoty môžeme dosadiť do algebrického tvaru komplexného čísla
![a+ib a+ib](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/de8796a27b1a82013857216bd70329f9.png)
![z=|z|( z=|z|(](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/82e216b643ddc7998d9bb2b4c4f61abb.png)
![\phi +i \phi +i](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b132b9f8cdce23a8d5f3d346e90dce11.png)
![\phi) \phi)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4740e90341e0e93250b3f2c0bea9675d.png)
ktorý nazývame goniometrický tvar komplexného čísla.