Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Cvičenie 1.
Daná je stredová kolineácia maticou $\small \mathcal K=\left(\begin{matrix} -1 & 2 & 2 \\ -2 & 3 & 2 \\ -2 & 2 & 3 \end{matrix}\right).$  Geometrická interpretácia v GeoGebre (interaktívny applet) je dostupná na https://www.geogebra.org/m/zrf4kxxj. Určte obraz bodu $\small M$, nájdite stred kolineácie a os kolineácie.

Pomoc pri riešení.

1. Zvoľte si ľubovoľný bod $\small M$. Vytvorte pomocou vzhľadu "Tabuľka" (už je aktivovaná) 1-stĺpcovú maticu s názvom $\small mm$, ktorej prvky sú homogénne súradnice bodu $\small M$.
2. Vytvorte súčin $\small mmm= m1 \times mm$.
3. Prvky matice $\small mmm$ sú homogénne súradnice obrazu $\small M'$
4. Zobrazte bod $\small M'$ pomocou vypočítaných súradníc.
5. Pohybujte bodmi $\small M,L$ a pozorujte bod $\small M'$. Pokúste sa vytvoriť situáciu, aby bod $\small M$ bol stredom kolineácie resp. bodom osi kolineácie.
6. Podrobnejší postup riešenia (ale pre inú maticu!!!) je v PDF forme Tu.
7. Samodružné prvky kolineácie  
1. Nájdeme a vyriešime charakteristickú rovnicu matice $\small \mathcal K$:
   $\small det(\mathcal K - \lambda I)=\left|\begin{matrix}-\lambda-1 & 2 & 2 \\-2 & -\lambda+3 & 2 \\-2 & 2 & -\lambda+3\end{matrix}\right|=0=-λ^3+5λ^2-7λ+3=-(λ-1)(λ^2-4λ+3)=-(λ-1)(λ-1)(λ-3)=0$
2. Riešením sú vlastné čísla: dvojnásobný koreň $\small \lambda =1$  a jednoduchý koreň $\small \lambda =3$.
3. Pre každé $\small \lambda$ nájdeme jeho vlastné vektory. Pre dvojnásobný koreň $\small \lambda =1$ dostaneme
   $\small \left(\begin{matrix} -2 & 2 & 2 \\ -2 & 2 & 2 \\ -2 & 2 & 2 \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix} 1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)$,
   
   odkiaľ
   $\small x_1  -x_2  -x_3  =  0 .$
   Odpoveď: Kolineácia má os kolineácie:  $\small x-y-1=0 .$
4. Vlastnému číslu $\small \lambda =3$ odpovedá matica
   $\small \left(\begin{matrix} -4 & 2 & 2 \\ -2 & 0 & 2 \\ -2 & 2 & 0 \end{matrix}\right).$
   K nej odpovedajúca lineárna sústava
   $\small x_1 -x_3 = 0$
   $\small x_2 -x_3 = 0$
   dáva riešenie. Samodružný bod (stred kolineácie): $\small  S=( \theta, \theta, \theta )$.

Applet GeoGebra si môžete stiahnuť Tu.

Riešený príklad.
Daná je kolineácia $\small \mathcal{K}$ svojou maticou $\small (K)$,
$\small (K) =\left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}\right)$
Nájdite samodružné body zobrazenia $\small \mathcal{K}$.

Riešenie.
Ak $\small X = ( x_1,x_2 ,x_3 )$ je samodružný bod, jeho súradnice spĺňajú maticovú rovnicu
$\small \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}\right)\times \left(\begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{matrix}\right)=\lambda\left(\begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{matrix}\right)$
alebo sústavu lineárnych rovníc $\small \lambda x_1=x_1 ,\lambda x_2=-x_3 ,\lambda x_3=x_2$.
Matica tejto sústavy rovníc je
$\small \left(\begin{matrix} \lambda -1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & -1 & \lambda \end{matrix}\right)$
a sústava má nenulový koreň, ak pre jej determinant platí $\small D = 0$. Z toho dostaneme $\small D = (\lambda^2+1)(1-\lambda)=0$. Po dosadení jediného (reálneho) riešenia $\small \lambda = 1$ do vyššie uvedenej sústavy rovníc dostaneme $\small x_1=x_1,x_2=-x_3, x_3=x_1$.  Z toho vyplýva $\small x_2=x_3=0$ a $\small x_1$ je ľubovoľné. Riešením je trojica $\small (1, 0, 0)$ a všetky jej nenulové násobky, teda bod s homogénnymi súradnicami $\small (1, 0, 0)$ (nevlastný bod). Otvorte si applet "Matica - ukazky_Prikl1" a nastavte súradnice bodu $\small L$ na hodnoty $\small (1, 0, 0)$. Ukážte, že táto kolineácia nie je stredovou kolineáciou.

Príklady.
Ukážky "pekných" matíc kolineácií. V pracovnom applete "Kolineacia ..." zmeňte prvky matice podľa priloženej tabuľky "Kolineácie - matice" pre každý zo 4 prípadov. Určte základné prvky kolineácie (stred, os, úbežnice) ak existujú.  Applet "Kolineacia_Matica_ObrazBodu(PrikStredova)".    

Určte základné prvky kolineácie (stred, os, úbežnice) ak existujú. 
$\small \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \textbf{Príklad} & \textbf{Stred } S & \textbf{Os } p & \textbf{Matica } M \\ \hline 1 & (0,0) & x + y = 1 & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \\ \hline 2 & (1,1) & x−y=0 & \begin{pmatrix} 3 & 0 & -2 \\ 0 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \hline \end{array}$ 
Tabuľka: Kolineácie - matice.