Kružnica v projektívnej rovine

Cvičenie

Cvičenie.
Riešte úlohy zo zbierky [BILL], kapitola 2.1.Kružnica a zväzky kružníc.
Cvičenie.
Riešte úlohy zo zbierky [MON], kapitola 7.1. KRUŽNICA.
Pokúste sa afinné riešenia niektorých úloh transformovať na projektívne homogénne rovnice.
  1. Úloha 7.1.1. Zistite, ktorá z rovníc je rovnicou kružnice
    1. \small 2x^2+2y^2+5x-4y+6 = 0
    2. \small x^2+y^2+x = 0
    3. \small x^2+y^2+4x-6y- 10 = 0
    4. \small x^2+y^2+6x+4y+20 = 0
    V prípade, že ide o rovnicu kružnice, zistite jej stred a polomer.
  2. Úloha 7.1.2. Dokážte, že \small\;3x_1^2 + 3x_2^2 - 12x_1 + 4x_2 + 12 = 0\; je rovnica kružnice. Určte jej stred a polomer.
  3. Úloha 7.1.3. Rozhodnite, ktorý z bodov \small A[4;3],\; B[1;-2],\; C[3+2\sqrt{3};0],\; D[2;-3] leží vo vnútri, zvonku alebo na kružnici k. Potom situáciu znázornite.
  4. Úloha 7.1.4. Určte reálne číslo \small a, tak aby priamka \small t bola dotyčnicou kružnice \small k. Určte súradnice dotykového bodu.
    \small t:\; 2x - y + a = 0; \qquad k:\; x^2 + y^2 - 2y - 4 = 0.
  5. Úloha 7.1.5. Určte podmienky pre reálne číslo \small c, aby priamka \small p bola sečnicou kružnice \small k. Potom narysujte úlohu pre vhodne zvolené \small c. 
    \small p:\; 3x - 2y + c = 0; \qquad k:\; x^2 + y^2 - 6x - 8y + 5 = 0.
  6. Úloha 7.1.6. Určte podmienky pre \small s\in\mathbb{R}, tak aby priamka \small p bola a) sečnicou, b) dotyčnicou kružnice \small k.
    \small p:\; 2x_1 - 3x_2 + s = 0; \qquad k:\; x_1^2 + x_2^2 - 8x_1 - 10x_2 + 28 = 0.
  7. Úloha 7.1.7. Určte prienik kružnice \small k a priamky \small p.
    \small k:\; x^2 - 2x + y^2 + 6y - 6 = 0; \qquad p:\; x - y = 0.
  8. Úloha 7.1.8. Napíšte rovnicu kružnice, ktorá prechádza bodmi \small A, B a jej stred leží na priamke \small p.
    1. \small A[-2;3],\; B[3;1],\; p:\; x - 3y - 3 = 0.
    2. \small A[1;3],\; B[-3;1],\; p:\; 2x - y - 8 = 0.
  9. Úloha 7.1.9. Určte rovnicu kružnice, ktorá prechádza bodmi \small A,B,C. Určte aj jej stred a polomer. Potom situáciu narysujte.
    1. \small A[1;1],\; B[1;-1],\; C[2;0].
    2. \small A[-1;5],\; B[-2;-2],\; C[5;5].
  10. Úloha 7.1.10. Určte prienik kružnice k a priamky \small p v závislosti od parametra \small d.
    \small k:\; (x+3)^2 + (y-5)^2 = 16; \qquad p:\; 3x + 2y + d = 0.
  11. Úloha 7.1.11. Napíšte rovnicu priamky, na ktorej leží priemer kružnice \small k kolmý na priamku \small p.
    \small k:\; x^2 + y^2 + 4x - 6y - 12 = 0; \qquad p:\; 5x + 2y - 13 = 0.
  12. Úloha 7.1.12. Určte stred \small S a polomer \small r kružnice, ktorá sa dotýka osí \small x a \small y a prechádza bodom A[4;2].
  13. Úloha 7.1.13. Napíšte rovnicu kružnice vpísanej do trojuholníka \small ABC:
    \small A\!\left[\tfrac{5\sqrt3}{2},\tfrac{7}{2}\right],\; B[0;1],\; C\!\left[\tfrac{5\sqrt3}{2},-\tfrac{3}{2}\right].
  14. Úloha 7.1.14. Napíšte rovnicu kružnice prechádzajúcej bodmi \small K,L a dotýkajúcej sa osi \small y:
    \small K[2;2],\; L\bigl[6;\;2\sqrt2+2\bigr].
  15. Úloha 7.1.15. Napíšte rovnicu kružnice s polomerom \small r=3\ \text{cm}, ktorá sa dotýka kružnice \small k a priamky \small l:
    \small k:\;\Bigl(x-\tfrac{10}{3}\Bigr)^2 + \Bigl(y-\tfrac{5\sqrt5}{3}\Bigr)^2 = 4,\qquad l:\; x - y - 3\sqrt2 = 0.
  16. Úloha 7.1.16. Určte prienik kružníc \small k_1 a k_2, ak
    \small k_1:\; x^2 + y^2 - 2x + 6y = 6,\qquad k_2:\; x^2 + y^2 + 4y - 6 = 0.
  17. Úloha 7.1.17. Dané sú body \small A[3;7],\; B[0;1]. Určte množinu
    \small M = \{ X\in\mathbb{E}_2 : |XA| = 2\cdot |XB| \}.
\( .\)