Kolineácia projektívnej roviny

Definícia (Perspektívnosť). 
Nech \small p, q sú dve rôzne priamky a bod \small S , ktorý nie je incidentný s priamkami \small p, q . Zobrazenie \small f: R(p) \rightarrow R(q) , ktoré bodu \small X \in p priradí bod X' = XS \cap q , sa nazýva perspektívnosťou (perspektívnym zobrazením) množiny bodov \small R(p) priamky \small p na množinu bodov \small R(q) priamky \small q . Bod \small S sa nazýva stredom perspektívnosti \small \mathcal{P} .
V podstate ide stredové premietania bodov jednej priamky na body priamky druhej; pozri applet "Perspektívnosť v rovine". Označenie \small R(p) predstavuje množinu všekých bodov priamky \small p . 

Perspektívnosť v rovine.
Definícia (Projektívnosť). 
Projektívnosťou (projektívnym zobrazením) sa nazýva zloženie konečného počtu perspektívností.
Táto definícia je dosť konštruktívna a dosť názorná ale je „nepraktická“. Nevieme aký veľký počet je ten „konečný“ počet.  Uvedieme vetu, ktorá v rozšírenej euklidovskej rovine matematicky charakterizuje  projektívnosť.
Veta (Základná veta projektívnej geometrie v \small \overline{\mathbb{E}}_2  o určenosti projektívnosti).
Nech \small p, q sú dve priamky v rozšírenej euklidovskej rovine \small \overline{\mathbb{E}}_2  a nech \small A, B, C  tri rôzne body priamky \small p . Ďalej nech \small A', B', C' tri rôzne body priamky \small q . Potom existuje jediná projektívnosť \small \mathcal{P}: R(p) \rightarrow R(q) taká, že \small \mathcal{P} (A) = A', \small \mathcal{P} (B) = B', \small \mathcal{P} (C) = C' .
Dôkaz nájdete v práci [SOL, 2015] Tu.
Definícia (Kolineácia v rovine).
Nech \small \overline{\mathbb{E}}_2 je projektívna rovina a \small \mathcal{K} je bijektívne zobrazenie
\small \mathcal{K} : \overline{\mathbb{E}}_2 \to \overline{\mathbb{E}}_2.
Zobrazenie \small \mathcal{K} nazývame kolineáciou projektívnej roviny \small \overline{\mathbb{E}}_2, ak každú trojicu kolineárnych bodov \small A, B, C, ktoré sú po dvojiciach rôzne, zobrazí na trojicu \small A', B', C', ktorá je takisto po dvojiciach rôzna a kolineárna.
Zrejme každé afinné zobrazenie rovine, pri ktorom sa deliaci pomer sa zachováva, je kolineácia v rovine. Napríklad všetky zhodné aj podobné zobrazenia roviny sú kolineáciami. Identické zobrazenie projektívnej roviny na seba je zrejme kolineáciou; nazývame ju identickou kolineáciou. 
Kolineácia projektívnej roviny, ktorej zúženie na ľubovoľnú priamku tejto roviny je projektívnosť, sa nazýva projektívna kolineácia.
Príklad. Každá stredová kolineácia (homológia, či elácia) desargovskej roviny je projektívnou kolineáciou, navyše
v rozšírenej euklidovskej rovine je každá kolineácia už projektívnou kolineáciou
Samodružné prvky kolineácie
  1. Bod \small M sa nazýva samodružný bod kolineácie \small \mathcal{K}, ak \small \mathcal{K}(M) = M.
  2. Priamka \small m sa nazýva samodružná priamka kolineácie \small \mathcal{K}, ak \small \mathcal{K}(m) = m.
  3. Bod \small S sa nazýva stredom (tiež silne samodružným bodom alebo priamkovo samodružným bodom) kolineácie \small \mathcal{K}, ak \small \mathcal{K}(S) = S a navyše \small \mathcal{K}(m) = m pre každú priamku prechádzajúcu stredom \small S.
  4. Priamka \small o sa nazýva osou (silne samodružnou priamkou alebo bodovo samodružnou priamkou) kolineácie \small \mathcal{K}, ak \small \mathcal{K}(o) = o a \small \mathcal{K}(X) = X pre každý bod \small X priamky \small o.
  5. Kolineácia, pre ktorú existuje stred (môže byť aj nevlastný), sa nazýva stredová kolineácia. 
  6. Stredová kolineácia s nevlastným stredom, pre ktorú existuje os, sa nazýva osová kolineácia. Pozrite si príklad osovej afinity v nerozšírenom euklidovskom priestore Tu, ktorá je určená tromi nekolineárnymi bodmi a ich obrazmi.
Definícia.
Stredová kolineácia, ktorej stred neinciduje s osou, sa nazýva homológia , stredová kolineácia, ktorej stred s osou inciduje, sa nazýva elácia. Pre homológie používa aj názov perspektívna kolineácia (presnejšie pre homológie s vlastným stredom a vlastnou osou).
Riešený príklad.
Nech \small A, B, C, D sú vrcholy štvorca v euklidovskej rovine, nech \small A' = B, B' = C, C'= D , D' = A. V rozšírenej euklidovskej rovine je týmito bodmi definovaná jediná projektívna kolineácia \small \mathcal{K}, ktorá zobrazí body \small A, B, C, D po poriadku na body \small A', B', C', D' . Je \small \mathcal{K} stredovou kolineáciou? Čo je jej zúžením na euklidovskú rovinu? (Ide o cyklické posunutie vrcholov štvorca.)
Riešenie
🔍 Je \small \mathcal{K} stredová kolineácia?
  1. Nie. Stredová kolineácia (centrálna kolineácia) je projektívne zobrazenie, ktoré:
    • Fixuje všetky body jednej priamky (tzv. os kolineácie),
    • A všetky ostatné body sa zobrazujú pozdĺž lúčov z jedného bodu (tzv. stred kolineácie).
  2. V tomto prípade:
    • Žiadny bod sa nezobrazuje na seba (ukážte, že je to pravda),
    • Žiadna priamka nie je fixovaná,
    • Zobrazenie cyklicky permutuje všetky štyri vrcholy štvorca.
  3. 👉 Preto \small \mathcal{K} nie je stredová kolineácia.
🔍 Čo je zúžením \small \mathcal{K} na euklidovskú rovinu?
Zúžením projektívnej kolineácie na euklidovskú rovinu rozumieme jej pôsobenie len na vlastné body, teda bez nevlastných bodov.
  1. V tomto prípade:
    1. cyklicky posúva vrcholy štvorca: 𝐴↦𝐵↦𝐶↦𝐷↦𝐴
    2. To zodpovedá otočeniu štvorca o 90° okolo jeho stredu (v smere proti hodinovým ručičkám).
    3. 👉 Zúžením \small \mathcal{K} na euklidovskú rovinu je otočenie o 90° okolo stredu štvorca.
V ďalšej časti tejto kapitoly budeme skúmať obraz kružnice v perspektívnej kolineácii \mathcal{K}(S,A,A') , ktorá je určená stredom \small S kolineácie, jej osou \small o a dvojicou odpovedajúcich bodov \small A,A'. V takto definovanej perspektívnej kolineácii vieme zostrojiť obraz ľubovoľného bodu roviny \small \pi, dokonca aj nevlastného (ideálneho bodu).
Nasledujúci applet znázorňuje homológiu rozšírenej euklidovskej roviny s vlastným stredom, vlastnou osou, ktorá zobrazí bod \small A do \small A',  priamku \small a do priamky \small a'. Nevlastný bod \small \mathrm{V_{∞}} (ideálny bod priamky \small a) do vlastného bodu \small V'. Pri konštrukcii (tu v rozšírenej euklidovskej rovine) sa využije fakt, že priamky prechádzajúce stredom sú samodružné, a teda body \small S, A, A´ a takisto body \small S, \mathrm{V_{∞}} , V' sú kolineárne.

Kolineácia\small \mathcal{K}(S,A,A') ; applet si stiahnete Tu.
Zostrojte obrazy ďalších bodov priamky \small a v interaktívnom applete "Kolineácia - úbežnice".
Veta.
V projektívnej rovine sú nasledujúce dva výroky ekvivalentné:
  1. Desarguesova veta .
  2. Pre každú trojicu \small S, A, A´ troch rôznych kolineárnych bodov a priamku \small o neprechádzajúcu žiadnym z daných bodov existuje (aspoň jedna) homológia \small \mathcal{H} taká, že \small S je jej stred, \small o jej os a pre obraz bodu \small A platí \small  A´=\mathcal{H}(A).
\( .\)