Euklides

Základy

V Základoch sú vysvetlené základy planimetrie, stereometrie a geometrickej algebry.
Celá práca je budovaná podľa jednotnej logickej schémy.
  1. Každá kniha sa začína definovaním – objasnením, názorným popisom všetkých geometrických objektov.
  2. Za nimi nasledujú postuláty – konkrétne vlastnosti geometrických útvarov i axiómy – výpovede o vlastnostiach negeometrických veličín.
  3. Potom sú uvedené matematické vety. s dôkazmi a so všetkými odkazmi na predchádzajúce vety, postuláty a axiómy.
Dielo Základy sa skladá z 13 kníh.
  1. V prvej knihe sa zaoberá trojuholníkmi a rovnobežníkmi, končí dôkazom Pytagorovej vety. 
  2. V druhej rozvíja planimetriu. 
  3. V tretej a štvrtej knihe pokračuje v planimetrii, zaoberá sa kruhom a mnohouholníkmi. 
  4. Piata kniha sa týka náuky o pomeroch. 
  5. V šiestej knihe sa venuje otázkam geometrickej podobnosti. 
  6. V ďalších knihách podáva výklad teórie čísel, hovorí o prvočíslach a zložených číslach, dostáva sa až k teórii iracionálnych čísel. 
  7. V jedenástej, dvanástej a trinástej knihe sa zaoberá stereometriou. 
Postuláty (Euklidove axiómy).
V knihe je uvedených päť Euklidových postulátov.
  1. Každými dvoma bodmi možno preložiť priamku.
  2. Každú časť priamky možno neobmedzene predĺžiť.
  3. Z ľubovoľného bodu možno opísať kružnicu s ľubovoľným polomerom.
  4. Všetky pravé uhly sú zhodné.
  5. Bodom neležiacim na danej priamke možno viesť práve jednu rovnobežku s danou priamkou.
Tieto postuláty predpokladajú, že kružidlo a pravítko sú ideálne, majú nekonečnú dĺžku a roztvorenie a tak dovoľujú viesť ideálne priamky alebo kružnice.
V Základoch je dôkaz Pytagorovej vety
Pozrite si pôvodný dôkaz v kurze Planimetria Tu.
Euklides poznal konštrukciu zlatého rezu.
Úloha - ( zlatý rez)
Rozdeľte úsečku na dve časti tak, aby obdĺžnik, ktorého jedna strana je celá úsečka a druhá jeden z jej dielov, mal rovnaký obsah ako štvorec nad druhým dielom.
alebo
Rozdeľte úsečku na dve časti tak, aby pomer dĺžok malej časti k veľkej časti bol taký istý, ako veľkej časti k celku.
Výsledok: Pomer veľkostí rozdelených úsečiek je iracionálne číslo 1,618033988...
Český preklad Euklidových základov klikni Tu. , Eukleidovy Základy ve školské matematice - klikni Tu.