Mezopotámia

Kvadratická rovnica

Úloha - problém z tabletu YBC 4663 (Mezopotámia asi 1800 pred Kristom).
Súčet dĺžky a šírky obdĺžnika je 6\frac{1}{2} a plocha obdĺžnika je 7\frac{1}{2} . (Katz, 2009, s. 28) Máme nájsť dĺžku a šírku obdĺžnika.
Pôvodné riešenie.
    Pisár podrobne popisuje kroky, ktorými prechádza.
  1. Najprv zníži 6\frac{1}{2} na polovicu, aby získal 3\frac{1}{4} .
  2. Potom odmocní 3\frac{1}{4} a dostane 10\frac{9}{16} .
  3. Od tejto (plochy) odpočítava daná plocha 7\frac{1}{2} , čo dáva 3\frac{1}{16} .
  4. Odmocnina tohto čísla sa extrahuje 1\frac{3}{4} .
    5. Nakoniec pisár poznamená, že dĺžka je 3\frac{1}{4} + 1\frac{3}{4} = 5, zatiaľ čo šírka je 3\frac{1}{4} -1\frac{3}{4} =1\frac{1}{2} .
V skutočnosti pozorné preštudovanie riešenia naznačuje, že pisár vychádzal zo vzťahov znázornených na obrázku "Geometrický dôkaz". Keďže podobných problémov je na viacerých tabletoch vyriešených veľa rovnakým spôsobom, môžeme sa domnievať, že v Mezopotánie vedeli riešiť kvadratické rovnice typu ax^2+c=bx , kde a,b,c sú kladné (reálne) čísla. Matematický dôkaz, že navrhnutý algoritmus môžeme použiť pre výpočet koreňov akejkoľvek kvadratickej rovnice typu ax^2+c=bx , zrejme v Mezopotámii nepoznali. Až Al-Chvárizmi podal geometrický dôkaz. Nasledujúca časť interpretuje tento dôkaz a je prevzatá z práce (Katz 2009. str. 23).
Ak podľa súčasnej terminológie označíme x + y = b,x \cdot y = c , tak \frac{b}{2}=x- \frac{x-y}{2}=y+ \frac{x-y}{2} , tak zrejme (\frac{b}{2} ) ^2 predstavuje obsah štvorca so stranou \frac{b}{2} . Obsah tohto štvorca presahuje (je väčší) pôvodný obdĺžnik s plochou c=x \cdot y o štvorec so stranou \frac{x-y}{2} . Pozrite si obrázok "Geometrický dôkaz". Po zavedení takéhoto označenia dostaneme
\large (\frac{x+y}{2})^2=\normalsize x \cdot y + \large(\frac{x-y}{2})^2.
Obrázok "Geometrický dôkaz" ukazuje, že ak sa pridá strana tohto štvorca, konkrétne
\large \sqrt{(\frac{b}{2})^2 - c)} ( zrejme = \small \frac{x-y}{2})
do \frac{b}{2} , tak dostaneme dĺžka x. Ak ju odpočítame od \frac{b}{2} , dostaneme šírku y. Algoritmus je teda vyjadrený vo forme
\large x=\frac{b}{2}+\sqrt{(\frac{b}{2})^2 - c)};x=\frac{b}{2}-\sqrt{(\frac{b}{2})^2 - c)}

Geometrický dôkaz.
Uvedený Al-Chvarizmiho dôkaz je založený síce na algebraickej substitúcii, ale bez geometrickej interpretácie je ťažko pochopiteľný. Ak využijeme dynamický applet Geometrický dôkaz, tak interpretácia tejto historickej úlohy sa stane prijateľnou a zároveň motivujúcou aj pre stredoškoláka.
\( .\)