Analytické vyjadrenie

Rozšírené matice

Rozšírené afinné súradnice.
Pri riešení príkladu "Tri body" sme použili matice, ktorých posledné riadky korešpondovali s podmienkou lineárnej kombinácie bodov
\small a_1+a_2+ . . . =1 .
V tomto príklade sme vlastne použili rozšírené matice, pomocou ktorých sme zjednodušili zápis analytického vyjadrenia afinného zobrazenia:
\mathbb{X'}=\mathbb{A} \times \mathbb{X}+\mathbb{B} \Leftrightarrow \small \left( \begin{array}{} x_1' \\ x_2' \\ · · · \\ x_n' \end{array}\right)= \left( \begin{array}{} a_1^1 & a_1^2 & · · · &a_1^n \\ a_2^1 & a_2^2 & · · · &a_2^{n} \\ \; \; ···\\ a_m^1 & a_m^2 & · · · &a_m^n \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{} x_1 \\ x_2 \\ · · · \\ x_n \end{array}\right)+ \left( \begin{array}{} r_1 \\ r_2 \\ · · · \\ r_n \end{array}\right)
ktorý sme upravili pomocou "rozšírených matíc" na tvar
\small \left( \begin{array}{} x_1' \\ x_2' \\ · · · \\ x_n' \\ 1 \end{array}\right)= \left( \begin{array}{} a_1^1 & a_1^2 & · · · &a_1^n & r_1 \\ a_2^1 & a_2^2 & · · · &a_2^{n} & r_2 \\ \; \; ···\\ a_m^1 & a_m^2 & · · · &a_m^n & r_m \\ 0 & 0 & · · · & 0& 1 \\ \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{} x_1 \\ x_2 \\ · · · \\ x_n \\ 1 \end{array}\right),
pričom \small x_i, a_i^j,r_i má ten istý význam ako pri afinných súradniciach.
Rozšírené afinné súradnice sprehľadnia zápis zobrazení. Súradnice bodu \small X = [x_1 , . . . , x_n ] nahradíme súradnicami \small [ x_1 , . . . , x_n,1 ] a súradnice vektora \small \vec e'_i=(a^i_1,a^i_2,...,a^i_m) nahradíme súradnicami \small ( a^i_1,a^i_2,...,a^i_m,0 ). Pre takto zavedené rozšírenie platí obvyklá aritmetika s bodmi a vektormi z euklidovských priestorov, ako aj počítanie s lineárnymi kombináciami. Umožňujú vytvárať zložené zhodné zobrazenia. Pozrite si prezentáciu Tu.
Výhody použitia rozšírených matíc
  1. Skladanie transformácií: Rozšírené matice umožňujú skladať viacero transformácií (napr. rotáciu, škálovanie a transláciu) do jednej matice násobením.
  2. Jednoduchšie výpočty: Takáto reprezentácia zjednodušuje výpočet pomocou štandardných operácií s maticami.
  3. Flexibilita: Rozšírené matice môžu reprezentovať širokú škálu transformácií, vrátane identít, rotácií, škálovaní, posunov a zložených transformácií.
Cvičenie.
Vyjadrite afinné zobrazenie (posunutie) \tau_{u} o vektor \vec u =(u_1,u_2), ktoré zobrazuje bod \small X[\normalsize x_1,x_2] na bod \small X'[\normalsize x_1+u_1,x_2+u_2] pomocou rozšírenej matice.
Riešenie.
Zo zadania úlohy vyplýva, že dané afinné zobrazenie je určené transformačnými rovnicami
(Tran) x'_1=x_1+u_1;\;x'_2=x_2+u_2 ,
ktoré môžeme zapísať pomocou matíc takto:
(\tau) \left( \begin{array}{ccc} x'_{1} \\ x'_{2} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} x_{1} \\ x_{2} \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} u_{1} \\ u_{2} \end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array} \right) \circ \left( \begin{array}{ccc} x_{1} \\ x_{2} \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} u_{1} \\ u_{2} \end{array} \right)
Pravú stranu rovnosti (\tau_{u}) (sčitovanie matíc) nahraďme rozšírenou maticou typu 3 x 3. Potom posunutie \tau_{u} o vektor \vec u =(u_1,u_2) budeme môcť vyjadriť ako súčin matíc. Hľadajme rozšírenú maticu typu 3 x 3 tak, aby platilo:

\left( \begin{array}{ccc} . & . & .\\ . & . & .\\ . & . & . \end{array} \right) \circ \left( \begin{array}{ccc} x_{1} \\ x_{2} \\1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} x_{1}+u_{1} \\ x_{2} +u_{2} \\1 \end{array} \right) .

Ľahko zistíme, že matica \left( \begin{array}{ccc} 1&0 &u_1\\ 0 & 1 &u_2\\ 0 & 0 &1 \end{array} \right) vyhovuje naším požiadavkám. Rovnosť (\tau) môžeme teraz zapísať v tvare
(\tau_{u}) \left( \begin{array}{ccc} x'_{1} \\ x'_{2} \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 1&0 &u_1\\ 0 & 1 &u_2\\ 0 & 0 &1 \end{array} \right) \circ \left(\begin{array}{ccc} x_{1} \\ x_{2} \\ 1 \end{array} \right).
\( .\)