Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Analytické vyjadrenia zhodnostných zobrazení.

So syntetickým prístupom k zhodnostným zobrazeniam ste sa zoznámili v kurze Planimetria. Euklidovské konštrukcie, v ktorých sa využívajú vlastnosti zhodnostných zobrazení si môžete zopakovať Tu.

Definícia (Zhodnostné zobrazenie).
Zobrazenie $\small f$ v euklidovskej rovine budeme nazývať zhodnostné zobrazenie, ak pre každé dva body $\small X, Y \in \mathbb E_2$ a ich obrazy $\small f(X), f(Y )$ platí
(ZH) $\small |XY | = |f(X)f(Y)|$.
Inými slovami zhodnostné zobrazenia zachovávajú vzdialenosti bodov.

Ak chceme so zhodnostnými zobrazeniami pracovať ako s afinnými zobrazeniami v $\small 2$-rozmernom euklidovskom priestore zameraním $\small V_2(\mathbb R)$, tak musíme najskôr ukázať že platí nasledujúca veta. 

Tvrdenie (Afinnosť zhodnostného zobrazenia).
Každé zhodnostné zobrazenie $\small f:\mathbb E^n \rightarrow \mathbb E^k$ je afinné.

Dôkaz.
Treba dokázať, že zhodnostné zobrazenie $\small f$ spĺňa podmienku zachovania kolineárnosti a deliaceho pomeru. Nech $\small A \neq B \neq C \neq A$ sú kolineárne body $\small \mathbb E^n$, potom zrejme aj body (\small f(A), f(B),f(C) \) sú navzájom rôzne. Bez ujmy na obecnosti môžeme predpokladať, že pre usporiadanie bodov $\small A,B,C$ platí $\small \mu (ABC)$. Bod $\small B$ leží medzi bodmi $\small A,C$.
Ukážeme, že body $\small f(A), f(B),f(C)$ sú kolineárne a zároveň platí $\small (ABC) = (f(A)f(B)f(C))$.

• Prvú časť tvrdenia dokážeme sporom. Nech body $\small f(A), f(B),f(C)$ nie sú kolineárne, potom vytvárajú trojuholník a na základe trojuholníkovej nerovnosti dostaneme spor.
• Teda body $\small f(A), f(B),f(C)$ ležia na jednej priamke. Pre ich usporiadanie môžu nastať dva prípady, z ktorých iba prípad, keď bod $\small f(B)$ leží medzi bodmi $\small f(A),f(C)$ vyhovuje podmienkam:
  $\small \left| AC \right| =\left| f(A)f(C) \right| ,\left| BC \right| =\left| f(B)f(C) \right| ,\left| AB \right| =\left| f(A)f(B) \right|$.

Teda platí $\small (ABC) = (f(A)f(B)f(C))$.

Nech $\small \mathbb E_2$ je euklidovská rovina so súradnicovou sústavou $\small \mathcal R = \lbrace O; \vec e_1, \vec e_2 \rbrace$. V predchádzajúcich kapitolách sme ukázali, že ľubovoľný bod $\small X \in \mathbb E_2$ a vektor $\vec u \in \small \mathbb (E_2 )$ sa dá jednoznačne vyjadriť ako lineárna kombinácia repéru resp. bázy

Tvrdenie (Analytické vyjadrenie zhodnostného zobrazenia v rovine).
Zhodnostné zobrazenie $\small f: \mathbb E_2 \rightarrow \mathbb E_2$ má maticové analytické vyjadrenie v tvare
(AZH) $\small \left(\begin{array}{ccc} x'\\ y' \end{array} \right)=\left(\begin{array}{ccc} a&c \\ b&d \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}x \\ y \end{array}\right) + \left(\begin{array}{ccc}p \\ q \end{array}\right)$
kde $f^*(\vec e_1)=(a,b), f^*(\vec e_2)=(c,d)$ sú obrazy súradnicových vektorov v asociovanom zobrazení $\small f^*$ a $\small [p,q]=f(O)$ je obraz začiatku súradnej sústavy v afinnom zobrazení $\small f$.

Dôkaz.
Nech je v $\small \mathbb E_2$ je afinné zobrazenie $\small f$, v ktorom sa repér $\left\langle \small O; \vec e_1, \vec e_2\right\rangle$ zobrazí na repér $\left\langle \small O; \vec e'_1, \vec e'_2\right\rangle$, pričom pre súradnice obrazov platí
$\small f(O)=[p,q]$
$\vec e'_1=f^*(\vec e_1)=(a,b),\vec e'_2=f^*(\vec e_2)=(c,d)$.
Ľubovoľný bod $\small X=[x,y]$ euklidovskej roviny sa pomocou súradného repéru $\small \mathcal R =\left\langle O;\pmb {e_1},\pmb {e_2}\right\rangle$ dá jednoznačne ako
$\small X=O+\normalsize x\vec e_1+y \vec e_2$.
Keďže zobraznie $\small f$ je lineárne, tak pre jobraz $\small X'=[x',y']$ bude platiť
$\small X'=f(X)=f(O)+\normalsize xf^*(\vec e_1)+yf^*(\vec e_2)$
odkiaľ dostávame
$[x',y']=[p,q]+x(a,b)+y(c,d)$,
čo predstavuje maticový zápis (AZH).

Podmienka
Ak $\small \mathbb A$ je matica zhodnostného zobrazenia, tak musí platiť
$\small \mathbb A \times \mathbb A^T=I$
kde $\small \mathbb A^T$ je transponovaná matica k matici $\small \mathbb A$ a matica $\small I$ je jednotková. Zdôvodnenie nájdete v práci (Ptáčková, 2016).

Matica, ktorá splňuje túto podmienku má tvar kde $f^*(\vec e_1)=(a,b), f^*(\vec e_2)=(c,d)$ sú obrazy súradnicových vektorov v asociovanom zobrazení.
Zvoľme $d_1 = \cos \alpha$, alebo $c_2 = \sin \alpha, d_2 = -\cos \alpha$, aby bola splnená rovnosť $ac + bd = 0$. Získame dve riešenia. Jedno riešenie je:

$\small A_1 = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}.$

Matica $\small A_1$ je matica typu: $\small  \begin{pmatrix} m & -n \\ n & m \end{pmatrix},$ kde $m, n \in \mathbb{R}$. Matice tohto typu sú matice priamych zhodností.

Druhým riešením je matica typu: $\small  \begin{pmatrix} m & n \\ n & -m \end{pmatrix},$ kde $m, n \in \mathbb{R}$, čo predstavuje maticu nepriamej zhodnosti.