Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Nech $\small V$ je vektorový priestor nad telesom $\small T$. Po zavedení pojmov lineárna závislosť a lineárna nezávislosť sme zadefinovali lineárny obal ako množinu všetkých lineárnych kombinácií kde $\pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_r}$ sú vopred dané vektory priestoru $\small V$.
Teraz môžeme pristúpiť k pojmom dimenzia a báza vektorového priestoru. Predtým musíme a pridať niektoré vektorové axiómy.

Axiómy dimenzie - rozmeru

1. Nech vo vektorovom priestore $\small V$ existuje maximálne $n$ lineárne nezávislých vektorov, kde $n$ je prirodzené číslo. Číslo $n$ nazývame dimenzia vektorového priestoru.
2. Každá $\small (n+1)$ - tica vektorov je už lineárne závislá.
3. Podmnožina $\small M$ vektorového priestoru $\small V$ je jeho báza práve vtedy, keď každý vektor $\small \pmb v \in V$ možno práve jediným spôsobom vyjadriť ako lineárnu kombináciu $\small a_1\pmb {v_1} +a_2\pmb {v_2}+ \cdot \cdot \cdot + a_n\pmb {v_n}$ navzájom rôznych vektorov množiny $\small M$.
4. Koeficienty $\small a_1,…,a_n$ nazývame súradnice vektora v vzhľadom na bázu $\small M$. Označujeme $\small ⟨v⟩_M$ a čítame „súradnice vektora $\small \pmb v$ vzhľadom na bázu $\small M$.

Definícia (Báza vektorového priestoru).
Vektorový priestor $\small V$ nad telesom $\small T$ je konečno-rozmerný, ak existuje taká konečná množina vektorov $\small \pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_n} ∈ V$, že platí
$\small V =: \pmb[ \pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_n}\pmb]$.
Báza je množina $\lbrace{\pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_n}}\rbrace$ lineárne nezávislých vektorov, ktorá generuje celý priestor $\small V$.

1. Vektorový priestor $\small V$ o dimenzii $n$ nad telesom $\small T$ budeme označovať symbolom $\small V_n(T)$.
2. Vektorový priestor, ktorý sa skladá z práve jedného vektora (obsahuje len nulový vektor) označíme $\small V_0$

Príklad.
Majme množinu $\small V_2(\mathbb R)$ všetkých usporiadaných dvojíc reálnych čísel a operácie:
$\small \oplus: \; (a_1,a_2) \oplus (b_1,b_2 ) =(a_1+b_1,a_2+b_2)$ - sčítanie po zložkách.
$\small \odot : \;k \odot (a_1,a_2) =(k.a_1,k.a_2)$ - násobenie skalárom $\small k \in \mathbb R$,
kde $\small \pmb a=(a_1, a_2),\pmb b=(b_1, b_2) \in V_2(\mathbb R)$ sú ľubovoľné usporiadané dvojice reálnych čísel. Ukážte, že množina $\small V_2(\mathbb R)$ spolu s operáciami $\small \oplus, \odot$ je 2-rozmerný vektorový priestor. Nájdite aspoň jednu jeho bázu.

Pozrite si riešenie prvej časti príkladu v samostatnom $\small \TeX$ súbore Tu.

Poznámky.

1. Vektorový priestor $\small V_2(\mathbb R)= \lbrace{(x, y); x, y \in \mathbb R}\rbrace$ je reprezentovaný množinou všetkých orientovaných úsečiek, ktoré sú určené ľubovoľnou usporiadanou dvojicou bodov v klasickej euklidovskej rovine.
2. Ak využijeme pravouhlý súradnicový systém s osami $\small o_x, o_y$ a počiatkom $\small O$, tak jedno z umiestnení vektora $\small \pmb a= (a_1, a_2)$ môžeme znázorniť ako orientovanú úsečku $\small \overrightarrow{OA}$, kde bod $\small A$ má súradnice $\small [a_1, a_2]$. Všimnite si, že budeme rozlišovať zápis usporiadanej dvojice (okrúhle zátvorky) a súradnice bodu v rovine (hranaté zátvorky).
3. V stredoškolskej matematike sa vektor priamo definuje ako orientovaná úsečka so šípkou smerujúcou od počiatku $\small [0, 0]$ súradnicového systému k bodu $\small [a_1, a_2]$. Šípkou sa označuje “orientácia” vektora $\small \pmb a$.
4. V písomnom texte budeme vektor $\small \pmb a$ označovať symbolom $\small \vec{a}$.

Nech sú dané dva vektory $\small \pmb a=(a_1, a_2),\pmb b=(b_1, b_2) \in V_2(\mathbb R)$. V pravouhlom súradnicovom systéme usporiadané dvojice $\small [a_1, a_2], [b_1, b_2]$ reprezentujú tiež dva body $\small A,B$ v euklidovskej rovine. Označme $\small \vec{a}=\overrightarrow{OA}, \vec{b}=\overrightarrow{OB}$. Zrejme vektor $\small \vec{u}=\overrightarrow{AC} \simeq \overrightarrow{OB}$, potom súčtom vektorov $\small \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}$ je vektor $\small \overrightarrow{OC}$. Uvažujme o trojuholníkoch $\small \triangle AEC , \triangle ODB$, ktoré prezentuje obrázok "Súčet vektorov". Tieto trojuholníky sú zhodné: $\small \triangle AEC \simeq \triangle ODB$. V dôsledku tejto zhodnosti ľahko určíme súradnice súčtu vektorov.

Pre súradnice vektora $\small \pmb u$, ktorý je súčtom vektorov $\small \pmb a=(a_1, a_2),\pmb b=(b_1, b_2)$ platí:

• $\small x(\vec u)=\left| OD \right| =\left| x(A)+x(B) \right|,$
• $\small y(\vec u)=\left| EC \right| =\left| y(A)+y(B) \right|.$

Súradnice vektora $\vec{u}$ určeného orientovanou úsečkou $\small \overrightarrow{AB} \simeq \overrightarrow{OD}$, kde $\small A = [a_1, a_2], B = [b_1, b_2]$ určíme ako rozdiely súradníc bodov $\small B,A$ tj. $(b_1 -a_1, b_2-a_2)$. Vytvorili sme operáciu: odčítavanie bodov, pričom:
Rozdielom dvoch bodov je vektor.
Vektor určený orientovanou úsečkou $\small \overrightarrow{AB}$ môžeme zapísať aj ako $\small B-A$.

Cvičenie.
Daný je vektorový priestor
$\small W=[(6,1,0,2),(2,3,4,1),(5,1,2,3),(3,0,1,4)]⊂\mathbb{\pmb Z^4_7}$.
    1. Nájdite nejakú bázu $\small B$ priestoru $\small W$ a určite jeho dimenziu.
    2. Určete súradnice vektora $\small \vec x$ vzhľadom k báze $\small B$, ak
$\small {\left\langle \vec x \right\rangle} _{k.b.}=(1,2,1,1)$.
Priestor $\small W$ obsahuje štvorice prvkov telesa $\small \mathbb{\pmb Z_7}$ zvyškových tried modulo 7.

Poznámka k cvičeniu.

Zápis $\small {\left\langle x \right\rangle} _{k.b.}=(1,2,1,1)$ hovorí, že súradnice vektora $\pmb x$ voči kanonickej báze sú $\small (1,2,1,1)$. Súradnice vektora $\pmb x$ voči kanonickej báze sú koeficienty lineárnej kombinácie vektorov kanonickej bázy dávajúcej vektor $\pmb x$, tj.
$\small \pmb x=1⋅(1,0,0,0)+2⋅(0,1,0,0)+1⋅(0,0,1,0)+1⋅(0,0,0,1)= (1,2,1,1)$.
Súradnice vektora voči kanonickej báze predstavujú priamo zložky $\small (1,2,1,1)$ vektora $\pmb x$.

Riešenie  (pozrite si Tu).

1. Máme nájsť bázu vektorového priestoru $\small W$, ktorý je daný ako lineárny obal množiny generátorov
   $\small [(6,1,0,2),(2,3,4,1),(5,1,2,3),(3,0,1,4)]$.
   Aby množina vektorov bola bázou, musí byť ešte lineárne nezávislá.
2. Ak teda nájdeme bázu $\small B=\left\langle \pmb b_1,\pmb b_2,\pmb b_3,\pmb b_4\right\rangle$ musí pre súradnice vektora $\small \pmb x$ platiť
   $\small \pmb x=(1,2,1,1)=x_1⋅\pmb b_1+x_2⋅\pmb b_2+x_3⋅\pmb b_3+x_4⋅\pmb b_4$.
   Z tejto vektorovej rovnice vypočítame súradnice $\small x_1,x_2, ...$. Najskôr treba upraviť maticu
   $\small \left(\begin{matrix} 6 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\ 5 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 0 & 1 & 4 \end{matrix}\right)$
   na trojuholníkový tvar (Pozor, pracujeme nad telesom resp. poľom $\small \mathbb{\pmb Z_7}$ zvyškových tried modulo 7!) Po prvej iterácii $\small  (IV.r.+2.II.r.; III.r.+?; II.r. + 2 \cdot I.r.)$ dostanme
   $\small \left(\begin{matrix} 6 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 4 & 5 \\ 0 & 4 & 6 & 4 \\ 0 & 6 & 2 & 6 \end{matrix}\right)$.
   Urobte ešte dve iterácie tak, aby ste dostali maticu
   $\small \left(\begin{matrix} 6 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)$.
3. Hodnosť matice je rovná 2, preto pre lineárny obal platí $\small [(6,1,0,2),(2,3,4,1),(5,1,2,3),(3,0,1,4)] =[(6,1,0,2),(0,5,4,5)]$.
   Dimenzia je rovná 2 a aspoň jedna báza je určená lineárne nezávislou množinou vektorov
   $\small B=\left\langle (6,1,0,2),(0,5,4,5)\right\rangle$
4. Určte súradnice vektora $\small \pmb x=(1,2,1,1)$ v tejto báze. Výpočet súradníc nájdete Tu.

Veta (Existencia bázy).
Každý netriviálny konečno generovaný vektorový priestor má aspoň jednu konečnú bázu.

Z vlastností hodnosti matíc ľahko odvodíme tvrdenie. Dôkaz nájdete napríklad v práci [HASa, 2020 ], str. 45-46].