Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Syntetický (geometrický) prístup

1. Orientovaná úsečka je úsečka, ktorej krajné body majú určené poradie (pripúšťame aj nulovú orientovanú úsečku). Ak $\small \overrightarrow{AB}$ je orientovaná úsečka, bod $\small A$ sa nazýva jej začiatočný bod, bod $\small B$ jej koncový bod.
2. Hovoríme, že orientované úsečky $\small \overrightarrow{AB} , \small \overrightarrow{CD}$ sú súhlasne orientované (rovnobežné, majú ten istý smer), ak polpriamky $\small \overrightarrow{AB}, \small \overrightarrow{CD}$ incidujú s priamkami tej istej osnovy a zároveň:
   • jedna z polpriamok je časťou druhej alebo
   • obe polpriamky ležia v tej istej polrovine určenej priamkou $\small AB$ .
   • V opačnom prípade sa orientované úsečky nazývajú nesúhlasne orientované. Symbolický zápis pre súhlasne orientované úsečky $\small AB \uparrow \uparrow CD$ a nesúhlasne orientované $\small AB \uparrow \downarrow CD$. 
3. Otvorte si applet Tu.
4. Orientované úsečky $\small \overrightarrow{AB}, \small \overrightarrow{CD}$ sú ekvivalentné ak stredy úsečiek $\small AD,BC$ sú totožné.
   • Množina všetkých orientovaných úsečiek ekvivalentných s $\small \overrightarrow{AB}, A \neq B$ sa nazýva geometrický vektor.
   • Orientovaná úsečka $\small \overrightarrow{AB}$ sa nazýva reprezentant (umiestnenie) vektora $\vec u$, zapisujeme $\small \vec u =\overrightarrow{AB}$.
   • Geometrický vektor sa nazýva aj voľný vektor (množina všetkých orientovaných úsečiek) a konkrétna orientovaná úsečka sa nazýva viazaný vektor.
5. Orientovaná úsečka $\small \overrightarrow{BA}$ je reprezentuje opačný vektor k vektoru $\vec u$ a označujeme ho $-\vec u$.

   

Cvičenie - [MOZ, 1.1.16 ]. (Nezabudnite na nulové vektory.) Riešenie (pozrite si prvú časť súboru) Tu.

Východiskové definície
Vo všeobecnosti vektor je množina všetkých navzájom zhodných, súhlasne orientovaných úsečiek.
Umiestnením vektora sa nazýva každá orientovaná úsečka, ktorá tento vektor určuje. Umiestnením vektora do bodu sa nazýva také jeho umiestnenie, ktorého začiatočným bodom je daný bod.
Vektor určený orientovanou úsečkou $\small \overrightarrow{AB}$ označíme tiež ako rozdiel bodov: $\small B-A$. Otvorte si applet Tu.
"Slovo vektor je prevzaté z latinského slova vector („nositeľ“, …). Vektor vznikol z potrieb fyziky (kde napr. vektor interpretujeme ako silu), do matematiky zaviedol vektory v r. 1853 írsky matematik a fyzik W. R. Hamilton (1805 – 1865). Takmer súčasnú podobu dal „vektorovému počtu“ na konci 19. storočia americký fyzik J. W. Gibbs (1839 – 1903)." Prevzaté z práce (Vranková).

Okruh $\small (O, +, ·)$ s jednotkou $1 \in \small O$$\;\;(1 \neq0 \in \small O$), v ktorom každý nenulový prvok má vzhľadom na násobenie inverzný prvok, nazývame telesom. Komutatívne teleso, v ktorom násobenie je komutatívna operácia, nazývame pole.

Nech sú dané
• neprázdna množina $\small V$, ktorej prvky nazývame vektory,
• pole $\small P$, ktorého prvky nazývame skaláry,
• zobrazenie $+:\; \small V \times \small V \to \small V$, ktoré nazývame sčítanie vektorov,
• zobrazenie $\cdot :\; \small P \times \to V$, ktoré nazývame násobenie vektora skalárom (prvkom z telesa $\small P$).

Definícia (Vektorový priestor).
Vektorový priestor nad poľom¹⁾ $\small P$ je množina $\small V$ spolu s dvoma binárnymi operáciami ( $+, \cdot$) s vlastnosťami

1. sčítanie dvoch vektorov: $\forall \vec u, \vec v \in V$ je súčet $\vec u + \vec v$ opäť vektor,
2. násobenie vektora prvkom z poľa P (skalárom): $\forall \vec u \in V, \forall \in P$ je súčin $a \times \vec u$ opäť vektor,

práve vtedy, keď súčasne platia vzťahy:

1. $\small ( V,+)$ je abelovská grupa.
2. Vektorové axiómy
   • asociatívnosť pre násobenie vektora skalárom: $a \cdot (b \cdot \vec v ) = (ab) \cdot \vec v$
   • invariancia vektora pri vynásobení jednotkovým prvkom poľa: $1 \cdot \vec v =\vec v$, kde $1$ označuje multiplikatívnu identitu vo $\small P$
   • distributívnosť (skalárneho) násobenia k sčítaniu vektorov:  $a \cdot (\vec u +\vec v) = a \cdot \vec u + a \cdot \vec v$
   • distributívnosť násobenia vektora $\vec v$, ku sčítaniu skalárov $a,b$:  $(a + b) \cdot \vec v = a \cdot \vec v + b \cdot \vec v$

Na zopakovanie základných pojmov a vlastností algebraickej štruktúry "Vektorový priestor" odporúčame okrem práce od profesora Haviara aj e-knihu venovanú vektorovým priestorom od  RNDr. Edity Vrankovej z Trnavskej univerzity v Trnave. Tiež na zopakovanie operácií s vektormi odporúčame prácu "Vektory v geometrii" od PaedDr. Miroslava Tisoňa, PhD., ktorá je dostupná Tu.
Interpretujte vzťahy uvedené v definícii vektorového priestoru v prostredí GeoGebra!

1. Vektory v rovine so sčitovaním a násobením ako ho poznáte zo strednej školy, tvoria vektorový priestor nad telesom reálnych čísel $\mathbb R$.
   
   Otvorte si applet Tu.
2. Usporiadané $\pmb n$-tice reálnych čísel s operáciami $+, \cdot$ definovanými po súradniciach tvoria vektorový priestor nad telesom reálnych čísel $\small \mathbb R$.
   $(x_1, x_2, . . . , x_n) + (y_1, y_2 . . . , y_n) = (x_1 + y_1, x_2 + y_2 . . . , x_n + y_n)$
   $c \cdot (x_1, x_2, . . . , x_n) = (c \cdot x _1, c \cdot x_2, . . . , c \cdot x_n)$
   V ďalších častiach budeme prevažne pracovať s vektormi, ktoré tvoria usporiadané $\pmb n$-tice reálnych čísel a to len pre rovinu $\pmb n=2$ resp. priestor $\pmb n=3.$

Ďalšie príklady vektorových priestorov sú množiny (všetkých)

1. polynómov v jednej neurčitej nad poľom reálnych čísel, operácia - sčítanie polynómov "podľa rovnakých mocnín",
2. reálnych funkcií, operácia - bežný súčet funkčných hodnôt,
3. matíc typu $m \times n$, operácia sčítania matíc - sčítanie v rovnakom riadku a stĺpci.

Pozrite si prácu [HAV, 2000], str. 40,41, dostupné Tu.

Cvičenie. Riešenie (pozrite si druhú časť súboru, príklady 1 až 4) Tu.
Nech je daná množina $\small V$ usporiadaných trojíc resp. dvojíc s obvyklým sčitovaním "po zložkách". Zistite, či množina $\small V$ je vektorovým priestorom nad poľom $\small P$.

1. $\small V = \lbrace{ (x_1, x_2, x_3) \in \mathbb R^3 ; x_1 + x_2 -2x_3 = 0}\rbrace$; $\small P=\mathbb R$.
2. $\small V = \lbrace{ (x,y) \in \mathbb Z^2 ; x-3y=0 }\rbrace$; Riešte pre $\small P=\mathbb Z$ a pre $\small P=\mathbb R$.
3. $\small V = \lbrace{ (x,y) \in \mathbb Z^2 ; x+3y=1}\rbrace$; $\small P=\mathbb R$.
4. Rozhodnite, či množina $\small V = \lbrace{ (x,y) \in \mathbb Z^2 ; p(x);8p(0)+6p(1)=0}\rbrace$ je vektorovým priestorom nad telesom $\small \mathbb R$. (Množina je tvorená polynómami, pre ktoré je súčet osemnásobku hodnoty v nule a šesťnásobku hodnoty v jednotke rovný nule.) Vytvorte algebraickú reprezentáciu a applet pre polynómy 1. stupňa, ktoré majú takúto vlastnosť.

Riešenia.

1. Uzavretosť operácie sčítania.
   Pre ľubovoľné dva vektory $\small \vec {a}=\left( a_1,a_2, \frac{a_1+a_2}{2}\right), \vec{ b}=\left( b_1,b_2, \frac{b_1+b_2}{2}\right) \in V$ pre ich súčet platí
   
   $\vec a +\vec b = \left(a_1+b_1, \; a_2+b_2 , \; \frac{(a_1+a_2)+(b_1+b_2)}{2} \right) =$
   $\; \; \; \;\; \; \; \; =\left(a_1+b_1, \; a_2+b_2 , \; \frac{(a_1+b_1)+(a_2+b_2)}{2} \right) \in V$
   
   Otvorte si applet Tu.
   odkiaľ dostávame, že operácia + je uzavretá.
2. Postupujeme podobne ako v predchádzajúcom prípade.
3. Operácia sčítania zrejme nie je uzavretá, lebo pre ľubovoľné dva vektory $\small \vec {a}=\left(1-3a,a\right), \vec{ b}=\left( 1-3b,b\right) \in V$
   $\vec a +\vec b = \left(2-3(a+b),a+b \right) \notin V$.
4. Uvažujme dva ľubovoľné polynómy $\small p_1(x), p_2(x)$, ktoré sú prvkami množiny $\small V$. Ďalej majme polynóm $\small p_{12}(x)=p_1(x)+p_2(x)$, ktorý je ich súčtom. Pre polynómy $\small p_1(x), p_2(x)$ platí
   $\small 8p_1(0)+6p_1(1)=0$,
   $\small 8p_2(0)+6p_2(1)=0$.
   Sčítaním oboch rovníc získame $\small 8[p_1(0)+p_2(0)]+6[p_1(1)+p_2(1)]=0$. Odkiaľ dostávame
   $\small 8p_{12}(0)+6p_{12}(1)=0$,
   teda že polynóm $\small p_{12}(x)$, čo je súčet ľubovoľných dvoch polynómov množiny $\small V$, je opäť prvkom tejto množiny. Tým sme dokázali uzavretosť sčítania vektorov.
   
   Polynómy 1. a 2. stupňa, dynamický obrázok Tu.
   Pokúste sa o grafickú interpretáciu vektorov, ak budeme brať do úvahy iba polynómy 1. stupňa alebo len polynómy 2. stupňa. Viete určiť počiatočné a koncové body týchto vektorov? Otvorte so applet Tu.

Poznámka.
V nasledujúcom texte budeme vektor $\vec u$ označovať aj symbolom $\pmb u$.

__________________________________________________________________________________________
¹⁾ Pole je teleso s komutatívnou multiplikatívnou operáciou $\cdot$.
²⁾ Pozrite si prácu [SBI] na stránke https://reseneulohy.cz/1356/vektorovy-prostor-ii