Interaktívna geomeria

Koncept rozšírenej matice môžeme využiť ako nástroj na jednotné/univerzálnejšie vyjadrenie afinného zobrazenia. Ide o elegantné algebraické riešenie, ktoré zjednocuje lineárnu časť a posunutie v jednej matici rozšírenej o riadok a stĺpec (tzv. homogénna matica). Zavedenie homogénnych súradníc umožňuje prechod z afinného do projektívneho rámca. 

Rozšírené afinné súradnice.
Pri riešení príkladu "Tri body" sme použili matice, ktorých posledné riadky korešpondovali s podmienkou lineárnej kombinácie bodov V tomto príklade sme vlastne použili rozšírené matice, pomocou ktorých sme zjednodušili zápis analytického vyjadrenia afinného zobrazenia: ktorý sme upravili pomocou "rozšírených matíc" na tvar
pričom $\small x_i, a_i^j,r_i$ má ten istý význam ako pri afinných súradniciach.

Rozšírené afinné súradnice sprehľadnia zápis zobrazení. Súradnice bodu $\small X = [x_1 , . . . , x_n ]$ nahradíme súradnicami $\small [ x_1 , . . . , x_n,1 ]$ a súradnice vektora $\small \vec e'_i=(a^i_1,a^i_2,...,a^i_m)$ nahradíme súradnicami $\small ( a^i_1,a^i_2,...,a^i_m,0 )$. Pre takto zavedené rozšírenie platí obvyklá aritmetika s bodmi a vektormi z euklidovských priestorov, ako aj počítanie s lineárnymi kombináciami. Umožňujú vytvárať zložené zhodné zobrazenia. Pozrite si prezentáciu Tu.
Výhody použitia rozšírených matíc

1. Skladanie transformácií: Rozšírené matice umožňujú skladať viacero transformácií (napr. rotáciu, škálovanie a transláciu) do jednej matice násobením.
2. Jednoduchšie výpočty: Takáto reprezentácia zjednodušuje výpočet pomocou štandardných operácií s maticami.
3. Flexibilita: Rozšírené matice môžu reprezentovať širokú škálu transformácií, vrátane identít, rotácií, škálovaní, posunov a zložených transformácií.

Cvičenie.
Vyjadrite afinné zobrazenie (posunutie) $\tau_{u}$ o vektor $\vec u =(u_1,u_2)$, ktoré zobrazuje bod $\small X[\normalsize x_1,x_2]$ na bod $\small X'[\normalsize x_1+u_1,x_2+u_2]$ pomocou rozšírenej matice.

Riešenie.
Zo zadania úlohy vyplýva, že dané afinné zobrazenie je určené transformačnými rovnicami
(Tran) $x'_1=x_1+u_1;\;x'_2=x_2+u_2$,
ktoré môžeme zapísať pomocou matíc takto:
($\tau$) $\left( \begin{array}{ccc} x'_{1} \\ x'_{2} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} x_{1} \\ x_{2} \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} u_{1} \\ u_{2} \end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array} \right) \circ \left( \begin{array}{ccc} x_{1} \\ x_{2} \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} u_{1} \\ u_{2} \end{array} \right)$
Pravú stranu rovnosti ($\tau$) (sčitovanie matíc) nahraďme rozšírenou maticou typu 3 x 3. Potom posunutie $\tau_{u}$ o vektor $\vec u =(u_1,u_2)$ budeme môcť vyjadriť ako súčin matíc. Hľadajme rozšírenú maticu typu 3 x 3 tak, aby platilo:

$\left( \begin{array}{ccc} . & . & .\\ . & . & .\\ . & . & . \end{array} \right) \circ \left( \begin{array}{ccc} x_{1} \\ x_{2} \\1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} x_{1}+u_{1} \\ x_{2} +u_{2} \\1 \end{array} \right)$.

Ľahko zistíme, že matica $\left( \begin{array}{ccc} 1&0 &u_1\\ 0 & 1 &u_2\\ 0 & 0 &1 \end{array} \right)$ vyhovuje naším požiadavkám. Rovnosť ($\tau$) môžeme teraz zapísať v tvare

($\tau_{u}$) $\left( \begin{array}{ccc} x'_{1} \\ x'_{2} \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 1&0 &u_1\\ 0 & 1 &u_2\\ 0 & 0 &1 \end{array} \right) \circ \left(\begin{array}{ccc} x_{1} \\ x_{2} \\ 1 \end{array} \right)$.

$<span class="nolink">\( .$\)