Planimetria a stereometria

Nech je daná priamka $p$, ktorá je rôznobežná s rovinou $\alpha$. Pri konštrukcii prieniku priamky $p$ a roviny $\alpha$, sa používa tento všeobecný postup:

1. priamkou $p$ sa vhodne preloží pomocná rovina $\beta$ rôznobežná s $\alpha$,
2. zostrojí sa prienik roviny $\alpha$ s rovinou $\beta$, prienikom je priamka $q$,
3. prienik priamky $p$ s priamkou $q$ je potom hľadaným prienikom priamky $p$ a roviny $\alpha$.

Príklad.
Daná je kocka $\small ABCDEFGH$. Zostrojte prienik priamky $p$ s rovinou $\small \overleftrightarrow{ZXF}$, ak $p=\small CY$, kde pre body $\small X,Y,Z$ platí $\small (AXE)=\normalsize \frac{4}{3}, \small (AYE) = 4, \small (HZG) = \normalsize \frac{3}{2}$.

Riešenie.
Najprv určíme rez kocky rovinou $\small \overleftrightarrow{ZXF}$ (využijeme axiómu I7). Rezom roviny $\small \overleftrightarrow{ZXF}$ je štvoruholník $\small XFZ1$, kde $\small X1$ je časťou rezu v stene $\small ADHE$.
Aby sme našli hľadaný priesečník priamky $\small \overleftrightarrow{CY}$ a roviny $\small \overleftrightarrow{ZXF}$, preložíme priamkou $\small \overleftrightarrow{CY}$ pomocnú rovinu, ktorá túto priamku obsahuje. Nech je to napríklad rovina $\small \overleftrightarrow{ACG}$. Nájdeme priesečnicu týchto dvoch rovín, $\small \overleftrightarrow{ACG} ∩ \overleftrightarrow{ZXF}=\overleftrightarrow{X2}$, kde 2 je priesečník priamok $\small \overleftrightarrow{EG}$ a $\small \overleftrightarrow{ZY}$ v rovine hornej podstavy $\small EFGH$. Prienik priamky $\small \overleftrightarrow{CY}$ a roviny $\small \overleftrightarrow{ZXF}$ určíme ako priesečník priamky $\small \overleftrightarrow{CY}$ a nájdenej priesečnice X2, $\small \overleftrightarrow{CY} ∩ \small \overleftrightarrow{X2}={T} = \small \overleftrightarrow{CY} ∩ \small \overleftrightarrow{ZXF}$. Priesečník priamky $\small \overleftrightarrow{CY}$ s rovinou $\small \overleftrightarrow{ZXF}$ je teda bod $\small T$.