Polohové stereometrické úlohy - prieniky

Definícia.
Prienikom dvoch geometrických útvarov rozumieme množinu všetkých bodov spoločných týmto geometrickým útvarom. Slovo „prienik“, ktoré pochádza z teórie množín, nahrádzame v geometrii rôznymi inými názvami. Používame napr. termíny „priesečník", „priesek" alebo „rez".

Polohové konštrukčné úlohy v $E_3$ možno rozdeliť na štyri základné typy

1. rez telesa rovinou,
2. priesečník priamky s rovinou,
3. prienik priamky s telesom,
4. zostrojiť priečku, resp. os, dvoch mimobežiek.

Rezom telesa $\small T$ (kocky, hranola, kvádra, ihlanu, …) rovinou $\rho$ rozumieme prienik roviny $\rho$ a telesa $\small T$.

Rez roviny s telesom môže byť napríklad len bod alebo úsečka. Nás však budú zaujímať hlavne také prípady, kedy prienikom bude mnohouholník. Rezom je teda rovinný konvexný útvar - mnohouholník, ktorého strany sú priesečnice rezovej roviny $\rho$ so stenami telesa $\small T$.
Z toho dôvodu sa rez vyznačuje len na povrchu telesa aj s patričnou viditeľnosťou.

V applete môžete pohybovať bodmi rezu $\small P, Q, R$. Applet si môžete stiahnuť Tu alebo Tu.

Najčastejšie používané metódy pri rezoch telesa rovinou $\rho = KLM$

1. Metóda spájania bodov ležiacich v stene daného telesa
   Pri tejto metóde využívame axiómu: Ak dva body priamky ležia v rovine, potom všetky body priamky ležia v tejto rovine.
Nech dva body $K, L$ ležia v stene $ABCD$ daného telesa.
Priamka určená bodmi $K, L$ pretína priamky určené stranami štvoruholníka $ABCD$, ktoré sú  s ňou rôznobežné.
Napríklad priamka $K, L$ na obrázku pretína priamky určené stranami $BC, AD$ v bodoch $1, 2$.
 
2. Metóda rovnobežnosti
   Pri tejto metóde využívame vlastnosť rovnobežných rovín:
   Dve rovnobežné roviny, pretína rovina s nimi rôznobežná v dvoch navzájom rovnobežných priamkach.
   
Nech dva body rezu $M, L$ ležia stene $ADHE$ telesa a bod rezu $K$ leží v rovnobežnej stene $BCGH$.
Priamka rezu prechádzajúca bodom $K$ pretína priamky steny $BCGF$ v bodoch $1 ∈ CG, 2 ∈ FG, 3 ∈ BF$. 

3. Metóda osovej afinity
   Pri tejto metóde využívame vlastnosť osovej afinity:
   Dve odpovedajúce si priamky v osovej afinite sa pretínajú v samodružnom bode ležiacom na osi afinity alebo sú rovnobežné. 
   
   Nech dva body rezu $K, L$ ležia v podstave $ABCD$ a bod rezu $M$ leží na hrane $AE$.
   Osová afinita medzi rovinou rezu $\rho$ a podstavou $ABCD$ je daná osou $KL$ a smerom $MM_1, M_1=A$.
   Priamka $AB$ je obrazom priamky rezu prechádzajúcou bodom $M$, ktorá pretína os afinity v samodružnom bode $1$.
   Bodom rezu je teda bod $2$ ležiaci na spojnici $M1$, pričom $B2 ∥ M_1M$.
   
4. Metóda stredovej kolineácie
   Túto metódu používame pri rezoch ihlanov a kužeľov. Základné vlastnosti stredovej kolineácie sú: samodružnosť bodov na osi kolineácie a odpovedajúce si priamky sa pretínajú na osi.

      Základné telesá, ktoré si môžete stiahnuť: Kocka 3D Tu. Kváder VRP Tu.

Metóda spájania bodov ležiacich v stene daného telesa

Pri riešení najjednoduchších úloh rovinných rezov telesa sa využívajú niektoré axiómy incidencie podľa Hilbertovej axiomatickej sústavy:

1. Každými dvoma bodmi $\small A, B$ prechádza práve jedna priamka.
2. Ak dva body $\small A, B$ priamky $p$ ležia v rovine $\alpha$, potom každý bod priamky $p$ leží v rovine $\alpha$.
3. Ak dve roviny $\alpha, \beta$ majú spoločný bod $\small A$, potom majú spoločný ešte aspoň jeden bod $\small B$, rôzny od $\small A$.

Pri konštrukcii rovinného rezu hranatého telesa postupujeme tak, že bud’ zostrojíme priesečnice (pokiaľ existujú ) všetkých jeho stien s rovinou rezu, alebo zostrojíme priesečníky všetkých jeho hrán s rovinou.

Pri metóde spájania postupujeme takto:

1. Hľadáme dva body roviny rezu, ktoré zároveň ležia v rovine niektorej steny telesa.
2. Ak takéto dva body existujú, určia priesečnicu roviny rezu s rovinou danej steny telesa.
3. Prienik priesečnice so stenou (ak obsahuje viac ako jeden bod), je jednou stranou rezového mnohouholníka.

Využitím axióm incidencie je zrejmé, že postačuje nájsť postupne vždy dva rôzne body roviny rezu s jednotlivými rovinami stien telesa.

Nech dva body $\small K,L$ležia v stene $\small ABCD$ daného telesa. Priamka určená bodmi $\small K, L$ pretína priamky určené (všetkými) stranami štvoruholníka $\small ABCD$, ktoré sú s ňou rôznobežné.
Napríklad priamka $\small K, L$ na obrázku pretína priamky určené stranami $\small BC, AD$ v bodoch $1, 2$.

Príklad.
Zostrojte rez kocky $\small ABCDEFGH$ rovinou $\small \alpha = PQR$, ak $\small P ∈ BC, Q ∈ FG, R ∈ EF$.

Metóda spájania - 3D formát.

Konštrukcia.

1. Priamka $\small PQ$ leží v rovine $\small BCG$, preto existujú body $\small 1 ∈ BF, 2 ∈ CG$
2. Priamka $\small R1$ leží v rovine $\small ABF$, preto existujú body $\small 3∈ AB, 4 ∈ AE$
3. Priamka $\small RQ$ leží v rovine $\small EFG$, preto existujú body $\small 5 ∈ GH, 6 ∈ EH$
4. \text{4. Rezom je n- uholník určený bodmi 1, 2, ...

Príklad.
Daný je štvorboký ihlan $\small ABCDV$ so stredom podstavy $\small S$. Pre body $\small K,M$ platí, že $\small µ(BKV )$, $\small µ(MAB)$. Zostrojte rez ihlanu rovinou $α =\small KSM$.

Rez ihlana, metóda spájania

Pri tejto metóde budeme využívať’ rovnobežnosť’ dvoch stien telesa. Pri riešení úloh je potrebné uvedomiť si nasledujúcu vetu, ktorá vypovedá o konfigurácii troch rovín.

Veta.

1. Dve rovnobežné roviny, pretína rovina s nimi rôznobežná v dvoch navzájom rovnobežných priamkach. Obrázok vľavo.
2. Každé dve z troch rovín sú rôznobežné a nemajú spoločný bod. Potom všetky tri priesečnice sú navzájom rovnobežné a rôzne. Obrázok vpravo.

Nech dva body rezu $M, L$ ležia stene $ADHE$ telesa a bod rezu $K$ leží v rovnobežnej stene $BCGH$. Rovina rezu $K, L, M$ bude pretínať steny $ADHE, BCGH$ v rovnobežných priamkach.
Priamka rezu prechádzajúca bodom $K$ musí byť rovnobežná s priamkou $M, L$ a bude pretínať priamky steny $BCGF$ v bodoch $1 ∈ CG, 2 ∈ FG, 3 ∈ BF$.

Príklad.
Zostrojte rez kocky $\small ABCDEFGH$ rovinou $\small \rho = KLM$ , ak $\small K ∈ BC, L ∈ EH, M ∈ AE$ .

Metóda rovnobežnosti - 3D formát.

Poznámky.

• Body $L,M$ ležia v stene $ADHE$ a priamka $LM$, ktorá je nimi určená, tiež leží v tejto stene.
• Bod $K$ leží v stene $BCFG$, ktorá je rovnobežná s $ADHE$. Priamka rezu prechádzajúca bodom $K$ musí byť rovnobežná s $LM$
• Priesečníky $1, 2$ s priamkami $BF,CG$ sú bodmi rezu. Priamka $M1$ je priamkou rezu, jej priesečník $3$ s $AB$ je bodom rezu.
• Priamka $L4$ je rovnobežka s priamkou $K3$. Bod rezu $4$ je možné zostrojiť aj pomocou bodu $5$.

Kontrola presnosti riešenia:

• Body $1, K, 2, 5$ musia ležať na jednej priamke aj pri zmene polohy bodov $K,L,M$.
• Rezom je mnohouholník, ktorý má niektoré strany rovnobežné
• Napr. $ML ∥ K2, 24 ∥ M3$ bude platiť aj pri zmene polohy bodov $K,L,M$. Pohybujte s nimi.

Program GeoGebra umožňuje zostrojiť rez telesa rovinou priamo pomocou nástroja Prienik dvoch plôch

Príklad.
Daný je pravidelný šesťboký ihlan $\small ABCDEFV$, stred $\small S$ podstavy a pre bod $\small M$ platí $\small µ(SMB)$. Zostrojte rez ihlana rovinou, ktorá prechádza bodom $\small M$ a je rovnobežná s priamkou $\small BC$ a priamkou $\small DV$.

Rez ihlana - metóda rovnobežnosti

1. Najprv určime rezovú rovinu na základe rovnobežnosti priamky a roviny. Rovina bude určená rôznobežkami $p, q$.
2. Priamka $p$ je rovnobežná s priamkou $\small BC$ prechádzajúca bodom $\small M$ a $q$ je rovnobežka s priamkou $\small DV$ prechádzajúca bodom $\small 2$. Bod $\small 2$ je zrejme bodom roviny rezu.
3. Zrejme $p$ leží v rovine podstavy a $q$ v rovine steny $\small CDV$. Potom zrejme prienik podstavy ihlana s priamkou $p$ je úsečka 12.
4. Prienikom priamky $q$ a steny $\small CDV$ je zrejme úsečka 23, ktorá je časťou hľadaného rezu v bočnej stene $\small CDV$.

Pri dokončení rezu využijeme vetu o vzájomnej polohe troch rovín. Vetu aplikujeme na rovinu podstavy, rovinu bočnej steny $\small BCV$ a rezovú rovinu. Podľa spomínanej vety musia byt’ všetky tri priesečnice týchto troch rovín navzájom rovnobežné´, preto priesečnica priamky t a steny $\small BCV$ je úsečka 34, ktorá tvorí časť rezu v spomínanej stene ihlana.

Metóda osovej afinity.

Osová afinita (v euklidovskom priestore) medzi dvoma rovinami je jednoznačne určená ak poznáme jej os $p$ a dvojicu odpovedajúcich si bodov $\small A,A'$ v osovej afinite, prípadne ak poznáme tri dvojice odpovedajúcich si bodov. Pri rezoch rovnobežnostena metóde využívame základnú vlastnosť osovej afinity.

Tvrdenie.
Dve odpovedajúce si priamky v osovej afinite sa pretínajú v samodružnom bode ležiacom na osi afinity alebo sú rovnobežné.

Nech dva body rezu $\small K, L$ ležia v podstave $\small ABCD$ a bod rezu $\small M$ leží na hrane $\small AE$. Obrázok vľavo. Osová afinita medzi rovinou rezu $\rho$ a podstavou $\small ABCD$ je daná osou $\small KL$ a smerom $\small MM_1, M_1=A$.
Priamka $\small AB$ je obrazom priamky rezu prechádzajúcou bodom $\small M$, ktorá pretína os afinity v samodružnom bode $1$. Bodom rezu je teda bod $2$ ležiaci na spojnici $\small M1$, pričom $\small B2 ∥ M_1M$.

Metóda stredovej kolineácie.

Túto metódu používame pri rezoch ihlanov a kužeľov. Základné vlastnosti stredovej kolineácie sú: samodružnosť bodov na osi kolineácie a odpovedajúce si priamky sa pretínajú na osi. Viac o stredovej kolineácii si pozrite v Tu.

Veta.
Medzi rezovou rovinou a rovinou podstavy telesa s vlastným hlavným vrcholom platí vzťah perspektívnej kolineácie. Stredom kolineácie je hlavný vrchol telesa a osou kolineácie je priesečnica rezovej roviny a roviny podstavy.

Ak rezová rovina je rovnobežná s rovinou podstavy telesa, osou kolineácie medzi rezovou rovinou a rovinou podstavy je potom ideálna priamka. Medzi rezovou rovinou a rovinou podstavy telesa platí vzťah homotétie (rovnoľahlosti) - ako špeciálny prípad perspektívnej kolineácie.

Príklad.
Zostrojte rez ihlana $ABCDV$ rovinou $ρ = \small KLM$, ak bod $\small K ∈ DV$ a body $\small L, M$ sú bodmi podstavy $\small ABCD$.

Riešenie.

1. Body $\small L, M$ ležia v podstave $\small ABCD$, preto priamku $\small LM$ môžeme považovať za os stredovej kolineácie.
2. Bod $\small K$ leží na hrane $\small DV$, bod $\small K$ sa zobrazí v stredovej kolineácii do bodu $\small D$, preto ich môžeme považovať za odpovedjúcu dvojicu bodov v kolineácii $\small  \mathscr{K}(V, o=\overleftrightarrow{KL}, K \rightarrow K'=D)$.
3.  

Poznámky.

• Bod $1$ je priesečník $\small DA$ s osou kolineácie a je samodružný bod. Bod $2$ je bodom rezu, ktorý sa zobrazí do bodu $\small A$.
• Priamka $\small DB$ má samodružný bod $3$. Bod rezu $4$, ktorý sa zobrazí do bodu $\small B$. Podobne využijeme bod $5$.

Presnosť riešenia.

• Odpovedajúce priamky sa musia pretínať v samodružnom bode na osi kolineácie.
• Rezom je mnohouholník. Vo väčšine prípadoch protiľahlé strany nie sú rovnobežné. Pohybujte s bodmi $\small K, L, M$.

V nasledujúcich kapitolách sa budeme zaoberať polohovými konštrukčnými úlohami, pri ktorých hľadáme spoločné body dvoch geometrických útvarov v euklidovskom priestore. Budú to úlohy:

1. prienik dvoch rôznobežných rovín,
2. prienik priamky s rovinou,
3. prienik priamky s telesom,
4. zostrojenie priečky dvoch mimobežiek.

V časti Vzájomná poloha rovín sme ukázali, že v euklidovskom priestore pre vzájomnú polohu dvoch rovín môže nastať len jeden z nasledujúcich prípadov. Roviny sú

1. totožné, roviny majú všetky body spoločné,
2. rovnobežné, roviny nemajú žiadne spoločné body,
3. rôznobežné, roviny majú spoločnú priamku.

Poznámky.

1. Prienikom dvoch rôznobežných rovín je v dôsledku axióm incidencie priamka, ktorú budeme nazývať priesečnica. Pri hľadaní priesečnice dvoch rovín stačí nájsť také dva body, ktoré patria jednej a zároveň aj druhej rovine. Budeme vychádzať z axióm:
2. Axióma I6: Ak dva rôzne body $\small A, B$ priamky $\small p$ ležia v rovine $\alpha$, potom každý bod priamky $p$ leží v rovine $\alpha$.
3. Axióma I7: Ak dve roviny $\alpha,\beta$ majú spoločný bod $\small A$, potom majú spoločný ešte aspoň jeden bod $\small B$, rôzny od $\small A$.

Postup konštrukcie/hľadanie priesečnice rovín.

1. Určíme najskôr rezy telesa obidvoma rovinami.
2. Nájdeme dva rôzne body $\small B,C$, ktoré ležia v obidvoch rovinách.

Hľadaná priesečnica je určená týmito dvoma bodmi.

Príklad.
Bod $\small M$ je stredom hrany $\small FG$ kocky $\small ABCDEFGH$. Zostrojte priesečnicu rovín $\alpha=\small \overleftrightarrow{AEC}$, $\beta=\small \overleftrightarrow{HMB}$.

Riešenie.
Najprv si musíme určiť rezy kocky rovinami $\alpha,\beta$ (využijeme axiómu I7). Rezom rovinou $\alpha$ je obdĺžnik $\small ACGE$ a rezom rovinou $\beta$ je rovnobežník $\small BMH1$, kde úsečka $\small 1H$ je časť rezu steny $\small ADHE$.
Hľadanú priesečnicu rovín $\alpha,\beta$ určíme dvoma rôznymi bodmi. Postačuje teda nájsť dva rôzne body, ktoré patria tak rovine $\alpha$ ako aj rovine $\beta$. Takéto body sú napríklad body $\small X,Y$, kde $\small {X} = \overleftrightarrow{EG} ∩ \overleftrightarrow{HM}$ a $\small {Y } = \overleftrightarrow{AC} ∩ \overleftrightarrow{B1}$.
Prienikom daných dvoch rovín je priamka $\small \overleftrightarrow{XY}$. Na záver ešte vyznačíme viditeľnosť’ obidvoch rezov kocky rovinami $\alpha,\beta$.

Applet je dostupný Tu. Vyriešte úlohu, otvorte si zadanie Tu.

Nech je daná priamka $p$, ktorá je rôznobežná s rovinou $\alpha$. Pri konštrukcii prieniku priamky $p$ a roviny $\alpha$, sa používa tento všeobecný postup:

1. priamkou $p$ sa vhodne preloží pomocná rovina $\beta$ rôznobežná s $\alpha$,
2. zostrojí sa prienik roviny $\alpha$ s rovinou $\beta$, prienikom je priamka $q$,
3. prienik priamky $p$ s priamkou $q$ je potom hľadaným prienikom priamky $p$ a roviny $\alpha$.

Príklad.
Daná je kocka $\small ABCDEFGH$. Zostrojte prienik priamky $p$ s rovinou $\small \overleftrightarrow{ZXF}$, ak $p=\small CY$, kde pre body $\small X,Y,Z$ platí $\small (AXE)=\normalsize \frac{4}{3}, \small (AYE) = 4, \small (HZG) = \normalsize \frac{3}{2}$.

Riešenie.
Najprv určíme rez kocky rovinou $\small \overleftrightarrow{ZXF}$ (využijeme axiómu I7). Rezom roviny $\small \overleftrightarrow{ZXF}$ je štvoruholník $\small XFZ1$, kde $\small X1$ je časťou rezu v stene $\small ADHE$.
Aby sme našli hľadaný priesečník priamky $\small \overleftrightarrow{CY}$ a roviny $\small \overleftrightarrow{ZXF}$, preložíme priamkou $\small \overleftrightarrow{CY}$ pomocnú rovinu, ktorá túto priamku obsahuje. Nech je to napríklad rovina $\small \overleftrightarrow{ACG}$. Nájdeme priesečnicu týchto dvoch rovín, $\small \overleftrightarrow{ACG} ∩ \overleftrightarrow{ZXF}=\overleftrightarrow{X2}$, kde 2 je priesečník priamok $\small \overleftrightarrow{EG}$ a $\small \overleftrightarrow{ZY}$ v rovine hornej podstavy $\small EFGH$. Prienik priamky $\small \overleftrightarrow{CY}$ a roviny $\small \overleftrightarrow{ZXF}$ určíme ako priesečník priamky $\small \overleftrightarrow{CY}$ a nájdenej priesečnice X2, $\small \overleftrightarrow{CY} ∩ \small \overleftrightarrow{X2}={T} = \small \overleftrightarrow{CY} ∩ \small \overleftrightarrow{ZXF}$. Priesečník priamky $\small \overleftrightarrow{CY}$ s rovinou $\small \overleftrightarrow{ZXF}$ je teda bod $\small T$.

Pri určovaní prieniku priamky a telesa postupujeme podobne ako pri priesečníku priamky s rovinou. Postup pri hľadaní priesečníka priamky s mnohostenom môžeme zhrnúť do nasledujúcich štyroch bodov.

1. Zostrojíme pomocnú rovinu, v ktorej daná priamka leží.
2. Pomocnú rovinu zvolíme tak, aby bol jej prienik s telesom čo najjednoduchší.
3. Pri prieniku priamky s hranolom sa najčastejšie volí rovina rovnobežná s bočnými hranami telesa.
4. Pri prieniku priamky a ihlana je vhodné zvoliť vrcholovú rovinu. Je to rovina, ktorá prechádza vrcholom ihlana.

Ukážka prieniku priamky s kockou. Applet je dostupný Tu.

Cvičenie.
Zostrojte prienik (úsečku $\small PQ$) priamky $\small KM$ s ihlanom $\small ABCDV$. Určte jej skutočnú dĺžku, ak $\small |AB| =1$.

Do kocky $\small ABCDEFGH$ je vložený štvorboký ihlan $\small ABCDV$, kde bod $\small V$ je stred hornej podstavy. Na polpriamke $\small DA$ za bodom $\small A$ leží bod $\small K$ na polpriamke $\small FG$ za bodom $\small G$ leží bod $\small M$.

Komentár k riešeniu

• Priamku $\small KM$ umiestnime do pomocnej roviny $\sigma=\small VKM$. Rovinu určíme priamkou $\small VM$ a rovnobežkou $r$, pričom platí: $r∥\small VM, K∈r$.
• Rezom ihlana $\small ABCDV$ rovinou $\small VKM$ je trojuholník $\small UWV$, kde ${\small U} = r ∩ \small AB, {\small W} = r ∩ \small BC$.
• Prienik priamky $\small KL$ so stranami $\small UV, VW$ sú hľadané priesečníky $\small P, Q$.
• Konštrukciu skutočnej dĺžky $\small PQ$ urobíme pomocou štvoreca $\small ABCD$. Musíme preniesť úsečky s odpovedajúcimi rozmermi. V tomto prípade je urobená konštrukcia len pre prípad ak bod $\small W$ je bodom úsečky $\small BC$.

Vyriešte úlohu "Prienik priamky s kockou", otvorte si zadanie Tu.

Poznámky.

1. Učiteľ musí mať na zreteli, že úlohy tohto typu sú pomerne náročné aj pre stredoškolákov. Preto je vhodné na SŠ zadávať presné údaje v zadaní. Napr. v tejto úlohe by sme dodali, že bod $\small K$ je vzdialený od bodu $\small A$ o polovicu veľkosti strany štvorca, podobne aj bod $\small M$.
2. V takom prípade sa rovina rezu rovina prechádza stredom hornej podstavy a rovnobežka $r$ prechádza stredom dolnej podstavy, čo významnou mierou uľahčuje zostrojenie rezu.
3. Pri konštrukciách typu "zostrojte skutočnú veľkosť" učiteľ by mal pripomenúť študentom, že aj vo VRP sa zachováva podielový pomer. Niekedy stačí pripomenúť, že stred úsečky sa zobrazí do stredu úsečky. Dobré je tiež pripomenúť aj konštrukciu delenia úsečky na rovnaké časti pomocou rovnobežiek.

Cvičenie - rezy.

1. Riešte úlohy zo zbierky Tu. Zostrojte rez telesa rovinou $\small KLM$. Použite pracovný model pre VRP Tu.
   ♥ Výberové úlohy $11,12,14,15,16,17$ riešte vo VRP, pričom je nutné zapísať aj postup riešenia v TeX formáte.
   Za každú vyriešenú výberovú úlohu môžete získať 1 plusový bod. Z výberových úloh môžete odovzdať maximálne 2 riešenia.
2. Zostrojte rez kocky $\small ABCDEFGH$ rovinou $\small KLM$, ak:
1. $\small K∈\vec{FE}, L∈\vec{FB}, M∈\vec{DC}$, použite metódu spájania. Zadanie →
2. $\small K∈AD, L∈FG, M∈GH$, použite metódu rovnobežnosti. Zadanie →
3. $\small K∈BF, L∈CG, M∈AD$, použite kombinovanú metódu spájania a rovnobežnosti. Zadanie →
4. $\small K∈AE, L∈CD, M∈FG$, použite osovú afinitu. Zadanie →
5. $\small K∈\vec{EH} ∧ H∈EK, L∈\vec{FB} ∧ B∈FL, M∈ \vec{DC} ∧ C∈DM$. Body $K,L,M$ ležia na mimobežkách. Zadanie →
6. Zostrojte rez kocky $\small ABCDEFGH$ rovinou $\small KLM$. Zadanie →
7. $\small K∈EH, L∈CD, M∈ \vec{BA} ∧ A∈MB$.
3. Zostrojte rez ihlana. Použite metódu spájania. Použite pracovný 3D model Tu.
   1. Daný je pravidelný štvorboký ihlan $\small ABCDV$. Zostrojte jeho rez rovinou $\small ACM$, kde $\small (BVM) = -1$.
   2. Daný je pravidelný štvorboký ihlan $\small ABCDV$. Zostrojte jeho rez rovinou $\small KLM$, kde $\small (DCK) = (DAL)=-2; (DVM) = -1.$
   3. Daný je štvorsten $\small ABCD$. Zobrazte rez rovinou rez rovinou $\small KLM$, ak $\mu (BLD),\mu (DCM)$.
4. Zostrojte rez ihlana. Použite metódu rovnobežnosti.
1. Daný je trojboký hranol $\small ABCA'B'C'$ rovinou, ktorá prechádza bodom $\small N$ a je rovnobežná s rovinou $\small ABC'$. Bod $\small N$ leží vnútri steny $\small ABC$.
2. Daný je pravidelný štvorboký ihlan $\small ABCDV$. Pre bod $\small M$ platí, že $\small (CMV ) = 2$. Bodom $\small M$ veďte rovinu rovnobežnú s rovinou $\small ADV$ a určte jej rez ihlanom._
3. Daný je pravidelný štvorboký ihlan $\small ABCDV$. Zostrojte rez ihlana rovinou, ktorá prechádza bodom $\small P$ rovnobežne s priamkou $\small AB$ a s priamkou $\small CV$. Bod $\small P$ je daný $\mu (BPV)$.
5. Zostrojte rez ihlana. Použite metódu kolineácie.
1. Daný je pravidelný štvorboký ihlan $\small ABCDV$. Zostrojte rez ihlana rovinou $\small EFG$, kde $\small (BCE) = (AVF) = (DVG) = -2$.
2. Daný je pravidelný päťboký ihlan $\small ABCDEV$ a rovina $\small PQR$, kde $\small \mu (APV ),\mu (BQV ), \mu (DRV )$. Zostrojte rez danou rovinou $\small PQR$.
3. Zostrojte rez štvorstena $\small ABCD$ rovinou $\small KLM$, kde $\small K$ leží v rovine trojuholníka $\small ACD$, $\small L$ leží na $\small BC$ a $\small M$ leží na výške ihlana. → Riešenie.

Cvičenie - Prieniky.

1. Na kocke $\small ABCDEFGH$ zostrojte priesečnicu rovín $\small AFH$ a $\small ACE$.
2. Je daný ihlan $\small ABCDEV$ zostrojte priesečnicu roviny $\small DVS$ s rovinou kolmou k rovine dolnej podstavy prechádzajúcu priamkou $\small CV$. Bod $\small S$ je stredom hrany $\small BC$.
3. Daná je kocka$\small ABCDEFGH$. Nájdite priesečník priamky $\small DF$ s rovinou $\small ACH$.
4. Je daný pravidelný štvorboký ihlan $\small ABCDV$. Pre body $\small P, Q$ platí $µ(\small ABQ) , µ(\small DPV)$. Zostrojte priesečník priamky $\small PQ$ s rovinou $\small BCV$.
5. Určite prienik kocky $\small ABCDEFGH$ a úsečky $\small KL$, kde bod $\small K$ leží na polopriamke $\small CG$ za bodom $\small G$ a je vzdialený od bodu $\small G$ o polovicu veľkosti hrany $\small CG$. Bod $\small L$ leží na polopriamke $\small EA$ za bodom $\small A$ a je od bodu $\small A$ vzdialený o polovicu veľkosti hrany kocky.
6. Určite prienik osemstenu $\small ABCDEF$ s priamkou $\small KL$. Bod $\small K$ leží na polopriamke $\small FE$ za bodom $\small E$. Bod $\small L$ leží na polopriamke $\small CA$ za bodom $\small A$.
7. .

Cvičenie - rôzne úlohy.

1. Mnohosten $\small ABCDE$ má steny $\small ABC, ACD, BCE, CDE, ABED$. Trojuholník $\small ABC$ je rovnostranný a jeho strany majú dĺžku $a$. Päty kolmíc, ktoré prechádzajú vrcholmi $\small D, E$ na rovinu $\small ABC$ sú stredmi úsečiek $\small AC, BC$. Priamka $\small DE$ je rovnobežná s rovinou $\small ABC$ a leží vo vzdialenosti $(a-2)$. Zadanie Mnohosten.

1. Narysujte tento mnohosten v GeoGebre a vytvorte jeho sieť.
2. Zostrojte kolmicu $k$ vedenú bodom $\small C$ na stenu $\small ABED$.
3. Zostrojte skutočnú veľkosť úsečky $\small CC_0$, kde $\small C_0$ je päta kolmice $k$.
4. Vypočítajte povrch a objem mnohostena $\small ABCDE$.