Afinná geometria
Afinné zobrazenie
Jednoznačnosť AZ
Afinné zobrazenie
determinuje ďalšie zobrazenie
medzi vektorovými zložkami príslušných euklidovských vektorových priestorov.
![\small f \small f](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/77e750f5f7faac6dedf7f58ab09ca580.png)
![\small f^* \small f^*](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1662783f6a5e06fe984bcb61fa72febf.png)
Definícia - asociované zobrazenie.
Nech
je afinné zobrazenie. Zobrazenie
nazývame asociovaným zobrazením k afinnému zobrazeniu
,
ak spĺňa nasledujúce podmienky:
Nech
![\small f : \mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_m \small f : \mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_m](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/66df4fcf974a0e62a305016324868252.png)
![\small f^* \small f^*](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1662783f6a5e06fe984bcb61fa72febf.png)
![\small f \small f](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/77e750f5f7faac6dedf7f58ab09ca580.png)
Predchádzajúca definícia vlastne hovorí, že asociované zobrazenie „zachováva” lineárne kombinácie bodov.
Veta - korektnosť definície asociovaného zobrazenia.
Zobrazenie
je jednoznačné určené a je dobre definované. Ekvivalentný matematický zápis: nech
pre nejaké
. Potom existuje práve jedno asociované zobrazenie
také, že
.
Zobrazenie
![\small f^* \small f^*](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1662783f6a5e06fe984bcb61fa72febf.png)
![\small α_0A_0 + \cdot \cdot \cdot + α_kA_k = β_0B_0 + · · · + β_kB_k \small α_0A_0 + \cdot \cdot \cdot + α_kA_k = β_0B_0 + · · · + β_kB_k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6cd06c25ac811ab0011d970411954744.png)
pre nejaké
![\small α_0 + · · · + α_k = β_0 + \cdot \cdot \cdot + β_k = 0 \small α_0 + · · · + α_k = β_0 + \cdot \cdot \cdot + β_k = 0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/aa93ca0a1d29c84e09b3b7bf2fba23cc.png)
![\small f^*:\mathrm V_n \rightarrow \mathrm V_m \small f^*:\mathrm V_n \rightarrow \mathrm V_m](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b8bbf15c66292a46bd82442ab8bf9d27.png)
![\small f^*(α_0A_0 + \cdot \cdot \cdot + α_kA_k) = f∗(β_0B_0 + \cdot \cdot \cdot + β_kB_k) \small f^*(α_0A_0 + \cdot \cdot \cdot + α_kA_k) = f∗(β_0B_0 + \cdot \cdot \cdot + β_kB_k)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3e54560694c40ef7192cc87c370e185c.png)
Dôkaz korektnosť definície asociovaného zobrazenia.
Existencia a jednoznačnosť asociovaného zobrazenia je daná obrazmi vektorov Vn.
Čo sa týka dobrej definovanosti zápisu v definicii asociovaného zobrazenia, z predpokladu vety vyplýva, že
pre nejaké
. Teda
.
Keďže zobrazenie
je afinné, a teda zachováva lineárne kombinácie bodov, tak
. Prezrite si applet z definície
Existencia a jednoznačnosť asociovaného zobrazenia je daná obrazmi vektorov Vn.
Čo sa týka dobrej definovanosti zápisu v definicii asociovaného zobrazenia, z predpokladu vety vyplýva, že
![\small α_0 + · · · + α_k = β_0 + · · · + β_k = 0 = M − O \small α_0 + · · · + α_k = β_0 + · · · + β_k = 0 = M − O](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2259a4263a05307714062ea92e7f43be.png)
![\small M \in \mathbb E_n \small M \in \mathbb E_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6096020525e9eb907d8ec984d16382d4.png)
![\small M = O + α_0A0 + \cdot \cdot \cdot + α_kA_k = O +α_0B0 + \cdot \cdot \cdot + α_kB_k=M-O \small M = O + α_0A0 + \cdot \cdot \cdot + α_kA_k = O +α_0B0 + \cdot \cdot \cdot + α_kB_k=M-O](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6e0ec6ec70f12478b76d2e6edee0a455.png)
Keďže zobrazenie
![\small f \small f](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/77e750f5f7faac6dedf7f58ab09ca580.png)
![\small f(M) = f(O) + α_0f(A_0) + · · · + α_kf(A_k) = M' + α_0B_0 + · · · + α_kB_k \small f(M) = f(O) + α_0f(A_0) + · · · + α_kf(A_k) = M' + α_0B_0 + · · · + α_kB_k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/eb4dfe3ceb1f98bd2f5d074d33082f3c.png)
Lineárne nezávislá množina bodov.
Nech
je množina bodov euklidovského priestoru. Je celkom prirodzené zaviesť pojem lineárne nezávislých bodov,
ako množinu lineárne nezávislých vektorov
.
Nech
![\small A_0, . . . , A_k \in \mathbb E_n, k \leq n \small A_0, . . . , A_k \in \mathbb E_n, k \leq n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d226f4e579a6c653e8f9a592df9af2e4.png)
![\small A_1-A_0, . . . , A_k-A_0 \small A_1-A_0, . . . , A_k-A_0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/47a50f3cd3c2ff0c9c41861a8a20e39a.png)
Poznámka.
Z predchádzajúcej definície je zrejmé, že v euklidovskom
rozmernom priestore existuje najviac
lineárne nezávislých bodov. Naviac tento počet sa dá dosiahnuť.
Z predchádzajúcej definície je zrejmé, že v euklidovskom
![n n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bfbdd7d089006253c9a32f7c78c15270.png)
![n + 1 n + 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/84297b8adbacca9a5bc15f78ba2305bf.png)
V kapitole "Lineárna kombinácia bodov" sme dokázali vetu
Na základe tohto tvrdenia a definície nezávislých bodov, môžeme povedať, že ľubovoľný bod euklidovského priestoru
sa dá
jednoznačne vyjadriť ako ich lineárna kombinácia.
Poznámka o lineárnych zobrazeniach.
Z lineárnej algebry poznáme tvrdenie, že každé lineárne zobrazenie
je jednoznačne dané obrazmi prvkov nejakej bázy
priestoru
.
![\small \mathcal{E}_n \small \mathcal{E}_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/198f62943fd22c62580f0ab9eec558bc.png)
Poznámka o lineárnych zobrazeniach.
Z lineárnej algebry poznáme tvrdenie, že každé lineárne zobrazenie
![\small \phi:\mathrm V_n \rightarrow \mathrm V_m \small \phi:\mathrm V_n \rightarrow \mathrm V_m](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e174f10861f6a7fa4e735d0d42109434.png)
![\small \mathrm V_n \small \mathrm V_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/311f0339a63ef02fce434e2ce0b7aeab.png)
Dôsledok obraz repéra.
Nech
je repér priestoru
a ľubovoľný bod
. Ďalej
nech
sú vektory vektorového priestoru
. Potom existuje jediné afinné
zobrazenie
také, že
a
pre
.
Nech
![\small \left\langle O, \pmb {e_1}, . . . ,\pmb {e_n} \right\rangle \small \left\langle O, \pmb {e_1}, . . . ,\pmb {e_n} \right\rangle](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/114a7bd914508830595477ccf016b525.png)
![\small \mathbb E_n \small \mathbb E_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4e7e91c96327d75db56b3c4af41667a6.png)
![\small B \in \mathbb E_n \small B \in \mathbb E_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/153bd8d9b1bf03eb8dd2b54bf9b5e9f7.png)
![\small \lbrace{\pmb {b_1}, . . . ,\pmb {b_n} }\rbrace \small \lbrace{\pmb {b_1}, . . . ,\pmb {b_n} }\rbrace](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a6346231ab0306a19f0b8203d48f6d98.png)
![\small \mathrm V_m \small \mathrm V_m](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/88d288e192ef22d52f74769e5fc0f316.png)
![\small f : \mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_m \small f : \mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_m](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/66df4fcf974a0e62a305016324868252.png)
![\small f(O)=B \small f(O)=B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8e0a5b185d75ed4b52ef1dc0d6cacdcc.png)
![\small f^*(\pmb {e_i})=\pmb {b_i} \small f^*(\pmb {e_i})=\pmb {b_i}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e9e5c4704bbdffdea90d1e8a67c4b1ce.png)
![\small i=1, · · · , n \small i=1, · · · , n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4ec03c828517471cb508bc94e2c088cb.png)
Dôkaz nájdete v učebniciach z lineárnej algebry.
Veta (Jednoznačnosť afinného zobrazenia).
Nech
je afinné zobrazenie. Potom
je jednoznačne určené obrazmi
lineárne nezávislých bodov z
.
Nech
![\small f : \mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_m \small f : \mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_m](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/66df4fcf974a0e62a305016324868252.png)
![\small f \small f](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/77e750f5f7faac6dedf7f58ab09ca580.png)
![\small n + 1 \small n + 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5dfe3b63ea38b3bf784da2a3070d20cc.png)
![\small \mathbb E_n \small \mathbb E_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/135b38d4e994a3c7d1d02997bec2c8f4.png)
Dôkaz.
Nech
. V súlade s definíciou nezávislých bodov, vektory
sú lineárne nezávislé. Keďže afinné zobrazenie je zároveň aj lineárne, tak pre obrazy vektorov
v asociovanom afinnom zobrazení
platí
pre
.
Podľa dôsledku "obraz repéra" je takto jednoznačne definované afinné zobrazenie. Treba len overiť, či takto definované zobrazenia spĺňa podmienku, že
.
(Urobte to ako cvičenie!)
Nech
![\small f(A_0)=B_0, . . . , f(A_n)=B_n \small f(A_0)=B_0, . . . , f(A_n)=B_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a54156729fd73d0f68f67f0768f0c325.png)
![\small \pmb e_1= A_1-A_0, . . . , \pmb e_n=A_n-A_0 \small \pmb e_1= A_1-A_0, . . . , \pmb e_n=A_n-A_0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4e24d769151aa3816b5a6aa2e6177db4.png)
sú lineárne nezávislé. Keďže afinné zobrazenie je zároveň aj lineárne, tak pre obrazy vektorov
![\small \pmb e_i \small \pmb e_i](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/191a71831eb8f4aa8edf9acd66d8be57.png)
![\small f^* \small f^*](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1662783f6a5e06fe984bcb61fa72febf.png)
![\small f^*(\pmb e_i)= f^*(A_i-A_0)=f(A_i)-f(A_0)=B_i-B_0 \small f^*(\pmb e_i)= f^*(A_i-A_0)=f(A_i)-f(A_0)=B_i-B_0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3eccca38e5e976a331bdc56a8e2b5607.png)
![\small i=1, · · · , n \small i=1, · · · , n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9a310f85e2616b3186d938cde25d4ba2.png)
Podľa dôsledku "obraz repéra" je takto jednoznačne definované afinné zobrazenie. Treba len overiť, či takto definované zobrazenia spĺňa podmienku, že
![\small f^*(\pmb e_i)=\pmb {b_i} \small f^*(\pmb e_i)=\pmb {b_i}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/721ac416b911c6099502ba1f70023e0b.png)
(Urobte to ako cvičenie!)
Príklad.
Dané sú body afinného priestoru
. Zistite, či sústava
bodov
je afinne (ne)závislá a vypočítajte dimenziu afinného podpriestoru generovaného sústavou
(dimenziu obalu
).
Dané sú body afinného priestoru
![\small \mathcal{A}_4: A[2, 4, 5, 6]; B[−7, 4, 5, 6]; C[6, 11, 3, 7]; D[−3, −10, 9, 4]; E[−3, 11, 3, 7] \small \mathcal{A}_4: A[2, 4, 5, 6]; B[−7, 4, 5, 6]; C[6, 11, 3, 7]; D[−3, −10, 9, 4]; E[−3, 11, 3, 7]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9b09fbccf9c7067f710d5ec3a4f09993.png)
![\small S = \left\{ A, B, C, D, E \right\} \small S = \left\{ A, B, C, D, E \right\}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f339d3be49fac7add752be7da9da94aa.png)
![\small S \small S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/33e0051a4cc1577ae2d1d24f48f964b9.png)
![\small S \small S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/33e0051a4cc1577ae2d1d24f48f964b9.png)
Riešenie.
Množina bodov
je afinne nezávislá, ak sústava vektorov
je lineárne nezávislá. Pre súradnice týchto vektorov dostaneme
.
Sústava vektorov W je lineárne nezávislá, ak rovnosť
je splnená práve len pre
. V našom prípade to nie je splnené lebo hodnosť matice
je dva. Teda hodnosť je menšia ako počet vektorov, preto sústava
je lineárne závislá a teda body
sú afinne závisle. Z poslednej matice vyplýva,
že dva vektory
sú lineárne nezávislé a vektory
sú ich lineárne kombinácie.
Preto dimenzia podpriestoru
je rovná dvom. Parametrické vyjadrenie tohto podpriestoru môžeme vyjadriť ako
.
To znamená, že body
ležia v rovine
.
Množina bodov
![\small S \small S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/33e0051a4cc1577ae2d1d24f48f964b9.png)
![\small W=\left\{\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE} \right\} \small W=\left\{\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE} \right\}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/da346f93e0fb9e896278fc90993f7a24.png)
je lineárne nezávislá. Pre súradnice týchto vektorov dostaneme
![\small \overrightarrow{AB} = B − A = (−9, 0, 0, 0); \overrightarrow{AC}= (4, 7, −2, 1);\overrightarrow{AD} = (1, −14, 4, −2); \overrightarrow{AE}= (−5, 7, −2, 1) \small \overrightarrow{AB} = B − A = (−9, 0, 0, 0); \overrightarrow{AC}= (4, 7, −2, 1);\overrightarrow{AD} = (1, −14, 4, −2); \overrightarrow{AE}= (−5, 7, −2, 1)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a9c3bfae93a10397901add964b34ebd7.png)
Sústava vektorov W je lineárne nezávislá, ak rovnosť
![\small b \overrightarrow{AB} +c \overrightarrow{AC} +d \overrightarrow{AD}+e \overrightarrow{AE} = \vec 0 \small b \overrightarrow{AB} +c \overrightarrow{AC} +d \overrightarrow{AD}+e \overrightarrow{AE} = \vec 0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1c31dde90bd516441dbf4a316c7d7d44.png)
je splnená práve len pre
![\small b=c=d=e=0 \small b=c=d=e=0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3bb35ce6c4ef2470f9a0db3078d3ef30.png)
![\small M=
\left(\begin{matrix}
-9 & 0 & 0 & 0 \\
4 & 7 & -2 & 1 \\
1 & -14 & 4 & -2 \\
-5 & 7 & -2 & 1
\end{matrix}\right)∼
\left(\begin{matrix}
-9 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 7 & -2 & 1 \\
0 & -14 & 4 & -2 \\
0 & 7 & -2 & 1
\end{matrix}\right)∼
\left(\begin{matrix}
-9 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 7 & -2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{matrix}\right)
\small M=
\left(\begin{matrix}
-9 & 0 & 0 & 0 \\
4 & 7 & -2 & 1 \\
1 & -14 & 4 & -2 \\
-5 & 7 & -2 & 1
\end{matrix}\right)∼
\left(\begin{matrix}
-9 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 7 & -2 & 1 \\
0 & -14 & 4 & -2 \\
0 & 7 & -2 & 1
\end{matrix}\right)∼
\left(\begin{matrix}
-9 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 7 & -2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{matrix}\right)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e470e618e39108137b094e1c7a8bc7ba.png)
je dva. Teda hodnosť je menšia ako počet vektorov, preto sústava
![\small W \small W](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/21d5b611683ad801195bcf5e022435eb.png)
![\small A, B, C, D, E \small A, B, C, D, E](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/cf531fcd8fa2dc7755db2c257944b6d3.png)
![\small \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \small \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/705b9801045a784d30096a46de1bf0a4.png)
![\small \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE} \small \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/fc07df72d3234a84110a6ce7f088586f.png)
![\small \left\langle S \right\rangle \small \left\langle S \right\rangle](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/66a8329026d9b1af4f2f30ed90ca03be.png)
![\small S=A+ \left\langle \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right\rangle \small S=A+ \left\langle \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right\rangle](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b8b7ef6695f9f6ecd2bdeefa454bc3e1.png)
To znamená, že body
![\small A, B, C, D, E \small A, B, C, D, E](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/cf531fcd8fa2dc7755db2c257944b6d3.png)
![\small (ABC) = S \small (ABC) = S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a4299e71e37da3f6319e61f820f155fc.png)
Poznámky.
- Nech
je
-rozmerný euklidovský priestor so zameraním
a nech
je afinná transformácia. Potom môžeme definovať asociované zobrazenie
afinného zobrazenia
aj nasledovne:
,
- Asociované zobrazenie
je vlastne "reštrikcia" zobrazenia
na vektorový priestor. Zobrazuje vektory so zamerania
na vektory toho istého zamerania.