Afinná geometria
Analytické vyjadrenie
Rovnoľahlosť a posunutie
V tejto kapitole sa budeme zaoberať transformáciami euklidovskej roviny - posunutím a rovnoľahlosťou. Tieto zobrazenia v syntetickom poňatí geometrie definujeme
jednoducho pomocou
- pevne zvoleného vektora -posunutie,
- pevne zvoleného bodu a skalára - homotétia alebo tiež rovnoľahlosť. Ukážeme, že tieto zobrazenia sú afinné a určíme ich transformačné matice.
Dôkaz.
Rovnoľahlosť
v euklidovskej rovine bodu
priraďuje bod
taký, že pre deliaci pomer bodov
platí
. Z definície deliaceho pomeru dostaneme vzťah
(h)
,
kde
je zvolený stred rovnoľahlosti a
je reálny koeficient.
V prvom kroku musíme ukázať (dokázať), že obrazom troch kolineárnych bodov v rovnoľahlosti sú opäť tri kolineárne body. Najskôr dokážeme toto tvrdenie analyticky.
Nech
sú ľubovoľné tri navzájom rôzne kolineárne body. Dvomi bodmi
je určená práve jediná priamka
. Podľa predpokladu bod
je bodom priamky
. V takom prípade existuje parameter
taký, že platia rovnosti
,
.
Označme
obrazy bodov
v rovnoľahlosti
. Potom súradnice týchto bodov musia spĺňať vzťah (h), čo vedie k rovnostiam
pre
. Upravujme posledný výraz
.
Dostali sme výraz, ktorý nám hovorí, že obraz
bodu
v zobrazení
leží na priamke určenej
bodmi
. Odkiaľ vyplýva, že zobrazenie
zachováva kolineárnosť a preto je afinným zobrazením.
Syntetický (konštrukčný) dôkaz tvrdenia, že rovnoľahlosť zachováva kolineárnosť je pomerne jednoduchý. Stačí využiť vlastnosť, že v rovnoľahlosti sa rovnobežnosť zachováva. Pozrite si nasledujúci obrázok. Vlastnosť zachovania kolineárnosti vyplýva z podobnosti trojuholníkov
a
.
Rovnoľahlosť
![\small \mathcal{H}=(S,k) \small \mathcal{H}=(S,k)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/277abc51766139f269bb49ee805fd4f0.png)
![\small X \small X](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/577f3a2270ae2d5475b8149d80b9ff87.png)
![\small X' \small X'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7f42dd5bf167fe384a5997f3b81accbc.png)
![\small S,X,X' \small S,X,X'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/092293c0491481984002dbf21271eb1a.png)
![\small (X'XS)=k \small (X'XS)=k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6d7157238c6e72ab360690591ceabb64.png)
(h)
![\small \mathcal{H}: X' = S+k(X−S) \small \mathcal{H}: X' = S+k(X−S)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/88c7a8d75a14879e4430751d2ad5be6b.png)
kde
![\small S[s_1,s_2] \in \mathbb E_2 \small S[s_1,s_2] \in \mathbb E_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a1c26e689f4a4cb3e1f0d602a9905e22.png)
![\small k \small k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/05a0604e4a27d5b402b3e80701e06ff5.png)
V prvom kroku musíme ukázať (dokázať), že obrazom troch kolineárnych bodov v rovnoľahlosti sú opäť tri kolineárne body. Najskôr dokážeme toto tvrdenie analyticky.
Nech
![\small A[a_1,a_2],B[b_1,b_2],C[c_1,c_2] \small A[a_1,a_2],B[b_1,b_2],C[c_1,c_2]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/69afe175d7ed037d38d7f0b09adfa934.png)
![\small A,B \small A,B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6e3aca76cc5885c8b98b036b0291b3df.png)
![\small p=\overleftrightarrow{AB} \small p=\overleftrightarrow{AB}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/940cfca559aaa44435a9ea9b4194a0bf.png)
![\small C \small C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5f1080ea0a11a846e6f8c83e0540467d.png)
![\small p \small p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/87c9c4f2b312b6964574ff10cde4858d.png)
![\small t \small t](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b89c238bcc0f4e7cbf253bc0e238ffc2.png)
![\small c_1=a_1+t(b_1-a_1) \small c_1=a_1+t(b_1-a_1)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4222985286ef04fbf6d67463e92d9920.png)
![\small c_2=a_2+t(b_2-a_2) \small c_2=a_2+t(b_2-a_2)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/432482adeab03368993922d9ddee391a.png)
Označme
![\small A'[a'_1,a'_2],B'[b'_1,b'_2],C'[c'_1,c'_2] \small A'[a'_1,a'_2],B'[b'_1,b'_2],C'[c'_1,c'_2]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6b451b3f2a1bcbe476b54b08ff273ea9.png)
![\small A,B,C \small A,B,C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/88db76319f4544b245f0671a769a9e15.png)
![\small \mathcal{H}=(S,k) \small \mathcal{H}=(S,k)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/277abc51766139f269bb49ee805fd4f0.png)
![\small a'_i=s_i+k(a_i-s_i) \small a'_i=s_i+k(a_i-s_i)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/70813e75a68a0ff66df8646ee9108d2c.png)
![\small b'_i=s_i+k(b_i-s_i) \small b'_i=s_i+k(b_i-s_i)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/baf8bb6c9c4bfbbe68491ff00baa7d4e.png)
![\small c'_i=s_i+k(c_i-s_i) \small c'_i=s_i+k(c_i-s_i)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2775ff7356ee5f79f65d5e084479a7cf.png)
pre
![\small i=1,2 \small i=1,2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2301cab50343c6871f5c13cb02615d45.png)
![\small c'_i=s_i+k(c_i-s_i)=s_i-ks_i+k(a_i-t(b_i-a_i))= \small c'_i=s_i+k(c_i-s_i)=s_i-ks_i+k(a_i-t(b_i-a_i))=](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3f7fdd236aedd21682edd87aa31b6b40.png)
![\small =s_i-ks_i+ka_i-kt(b_i-a_i))= [𝑠_𝑖+𝑘(𝑎_𝑖−𝑠_𝑖)]−𝑘𝑡(𝑏_𝑖−𝑠_𝑖−𝑎_𝑖+𝑠_𝑖)= \small =s_i-ks_i+ka_i-kt(b_i-a_i))= [𝑠_𝑖+𝑘(𝑎_𝑖−𝑠_𝑖)]−𝑘𝑡(𝑏_𝑖−𝑠_𝑖−𝑎_𝑖+𝑠_𝑖)=](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c681a01115932036b0e5d058fc3e367d.png)
![\small=𝑎′_𝑖−𝑘𝑡[(𝑏_𝑖−𝑠_𝑖)−(𝑎_𝑖−𝑠_𝑖)]= \small=𝑎′_𝑖−𝑘𝑡[(𝑏_𝑖−𝑠_𝑖)−(𝑎_𝑖−𝑠_𝑖)]=](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/52d68a8f94debc432367bf18d957ad68.png)
![\small=𝑎′_𝑖−𝑡[(𝑠_𝑖+𝑘(𝑏_𝑖−𝑠_𝑖))−(𝑠_𝑖+𝑘(𝑎_𝑖−𝑠_𝑖))]= \small=𝑎′_𝑖−𝑡[(𝑠_𝑖+𝑘(𝑏_𝑖−𝑠_𝑖))−(𝑠_𝑖+𝑘(𝑎_𝑖−𝑠_𝑖))]=](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6b742adedf4d1e34816b71e1be573abd.png)
![\small=𝑎′_𝑖+𝑡[𝑏′_𝑖−𝑎′_𝑖] \small=𝑎′_𝑖+𝑡[𝑏′_𝑖−𝑎′_𝑖]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a95d131333c85242a71483af33b7ce7f.png)
Dostali sme výraz, ktorý nám hovorí, že obraz
![\small C' \small C'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/40192806d1e349f81ff8c597514b3d55.png)
![\small C \small C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5f1080ea0a11a846e6f8c83e0540467d.png)
![\small \mathcal{H}=(S,k) \small \mathcal{H}=(S,k)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6e88b22e1103cec62f9570492a826bca.png)
![\small A',B' \small A',B'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b1982a5126c2bd89bf5edc647a42897a.png)
![\small \mathcal{H}=(S,k) \small \mathcal{H}=(S,k)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/277abc51766139f269bb49ee805fd4f0.png)
Syntetický (konštrukčný) dôkaz tvrdenia, že rovnoľahlosť zachováva kolineárnosť je pomerne jednoduchý. Stačí využiť vlastnosť, že v rovnoľahlosti sa rovnobežnosť zachováva. Pozrite si nasledujúci obrázok. Vlastnosť zachovania kolineárnosti vyplýva z podobnosti trojuholníkov
![\small \triangle SAC,\triangle SA'C' \small \triangle SAC,\triangle SA'C'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4b24228ba7be2730a0ab5375161b4d48.png)
![\small \triangle SBC,\triangle SB'C' \small \triangle SBC,\triangle SB'C'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5113d59b644bbf77c5935aeaa91c74c9.png)
Vzťah (h) je vlastne parametrické vyjadrenie a predstavuje transformáciu roviny
, ktorá bodu
v rovnoľahlosti
priradí bod
. Tento vzťah môžeme po jednoduchej úprave upraviť na sústavu dvoch rovníc o dvoch neznámych
,
kde
.
Usporiadaná dvojica
predstavuje súradnice obrazu počiatku
v rovnoľahlosti
.
K dôkazu stačí dosadiť súradnice začiatku
do vzťahu (h).
Preskúmajme aké budú obrazy súradnicových ortonormálnych vektorov
v rovnoľahlosti
. Dosadením súradníc
bodov
do vzťahu (h) dostaneme pre obrazy
,
po dosadení súradníc
do rozdielov
dostaneme súradnice obrazov
Súradnice obrazov súradnicových ortonormálnych vektorov sú závisé len od koeficienta
.
V súlade s definíciou analytického vyjadrenia afinného zobrazenia môžeme vyjadriť rovnoľahlosť
v rovine pomocou rozšíreného maticového tvaru takto:
.
![\small \mathbb E_2 \small \mathbb E_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6361000451a13c2ea0a255acc82f85ff.png)
![\small X[x,y] \in \mathbb E_2 \small X[x,y] \in \mathbb E_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e08e134049c7de5555f4ceb42445fae2.png)
![\small \mathcal{H}=(S,k) \small \mathcal{H}=(S,k)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/277abc51766139f269bb49ee805fd4f0.png)
![\small X'[x',y'] \in \mathbb E_2 \small X'[x',y'] \in \mathbb E_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/95b6089b0fb9d1a688d01934e8311f0f.png)
![\small x′,𝑦′ \small x′,𝑦′](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c314a0532640ad0760f2ff92f1f0ae41.png)
![\small 𝑥′= 𝑘 \cdot 𝑥+0 \cdot 𝑦+o'_1 \small 𝑥′= 𝑘 \cdot 𝑥+0 \cdot 𝑦+o'_1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/33f6739ca008f663537fbc96be67e6c8.png)
![\small 𝑦′=0 \cdot 𝑥+𝑘 \cdot 𝑦+o'_2 \small 𝑦′=0 \cdot 𝑥+𝑘 \cdot 𝑦+o'_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2f7d91ac9129aac7a591a73feae5e4d0.png)
kde
![\small 𝑜′_1=𝑠_1+𝑘 \cdot (0-𝑠_1)=s_1 (1-k);𝑜′_2=𝑠_2 (1-k) \small 𝑜′_1=𝑠_1+𝑘 \cdot (0-𝑠_1)=s_1 (1-k);𝑜′_2=𝑠_2 (1-k)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1ac5f5b56bef5208e73e623ae91cfa33.png)
Usporiadaná dvojica
![\small [s_1(1-k),𝑠_2(1-k)] \small [s_1(1-k),𝑠_2(1-k)]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2f077ed49890c27918ec06940cf36776.png)
![\small O[0,0] \small O[0,0]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ab786f1f1348064c3558f8b3acc41e8c.png)
![\small \mathcal{H}=(S,k) \small \mathcal{H}=(S,k)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/277abc51766139f269bb49ee805fd4f0.png)
![\small O[0,0] \small O[0,0]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ab786f1f1348064c3558f8b3acc41e8c.png)
Preskúmajme aké budú obrazy súradnicových ortonormálnych vektorov
![\small \vec e_1=E_1-O=[1,0];\vec e_2=E_2-O=[0,1] \small \vec e_1=E_1-O=[1,0];\vec e_2=E_2-O=[0,1]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/65697fba787ddf89773c3cd0e64c3e7b.png)
![\small \mathcal{H}=(S,k) \small \mathcal{H}=(S,k)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/277abc51766139f269bb49ee805fd4f0.png)
![\small E_1,E_2 \small E_1,E_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/13a81461a93edf0fce0a954fa6239421.png)
![\small E_1';E_2' \small E_1';E_2'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/da9af4486956ff8336a3920363abea2e.png)
![\small E_1'=[k+s_1(1-k),s_2(1-k)],E_2'=[s_1(1-k),k+s_2(1-k)] \small E_1'=[k+s_1(1-k),s_2(1-k)],E_2'=[s_1(1-k),k+s_2(1-k)]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a57bd414561b5998b36d7af96b142cda.png)
po dosadení súradníc
![\small O'[s_1(1-k),𝑠_2(1-k)] \small O'[s_1(1-k),𝑠_2(1-k)]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2d7c09fd2b900d768d74871f7bc77ed7.png)
![\small E_1'-O';E_2'-O' \small E_1'-O';E_2'-O'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ca0487058d910ec309362d11f63a64d4.png)
![\small \vec e_1';\vec e_2' \small \vec e_1';\vec e_2'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c82f39f182d4f35359ec8583134f6df7.png)
![\small \vec e_1'=([k+s_1(1-k)]-[s_1(1-k)],[s_2(1-k)]-[𝑠_2(1-k)])=\pmb{(k,0)};\\ \small \vec e_2'=([s_1(1-k)]-[s_1(1-k)],[k+s_2(1-k)]-[𝑠_2(1-k)])=\pmb{(0,k)} \small \vec e_1'=([k+s_1(1-k)]-[s_1(1-k)],[s_2(1-k)]-[𝑠_2(1-k)])=\pmb{(k,0)};\\ \small \vec e_2'=([s_1(1-k)]-[s_1(1-k)],[k+s_2(1-k)]-[𝑠_2(1-k)])=\pmb{(0,k)}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e7a44d83fd3a9987dbebea6aff9a1390.png)
Súradnice obrazov súradnicových ortonormálnych vektorov sú závisé len od koeficienta
![\small k \small k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3b2ad892abd19bf1f81965bd66cd27d1.png)
V súlade s definíciou analytického vyjadrenia afinného zobrazenia môžeme vyjadriť rovnoľahlosť
![\small \mathcal{H} \small \mathcal{H}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bfeb678706e72aaef2394ff03e5389b8.png)
![\small
\left(\begin{array}{} x'\\ y' \\ 1\end{array}\right) =
\left(\begin{array}{} k & 0 & o'_1 \\ 0 & k & o'_2 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)
\times
\left( \begin{array}{} x \\ y \\ 1 \end{array} \right) \small
\left(\begin{array}{} x'\\ y' \\ 1\end{array}\right) =
\left(\begin{array}{} k & 0 & o'_1 \\ 0 & k & o'_2 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)
\times
\left( \begin{array}{} x \\ y \\ 1 \end{array} \right)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/28ab2aed033cebea6543068091521fd1.png)
Poznámky.
- Maticu
nazývame matica afinného zobrazenia (rovnoľahlosti), pričom prvky prvého (resp. druhého) stĺpca tejto matice predstavujú súradnice vektora
(resp. vektora
), ktorý je obrazom vektora
(resp. vektora
) v danej rovnoľahlosti. V rovnoľahlosti rovnobežnosť sa zachováva, preto vektory
a
sú lineárne závislé, pričom
.
- V transformačných rovniciach koeficienty pri neznámej
(resp.
) predstavujú súradnice vektora
(resp. vektora
).
Riešenie. Využite riešenie príkladu "Tri body" v kapitole "Afinné zobrazenie". Pozrite si grafické riešenie
Tu.
Úloha.
Vytvorte applet v GeoGebre, ktorý bude generovať transformačné rovnice pre posunutie v rovine.
Vytvorte applet v GeoGebre, ktorý bude generovať transformačné rovnice pre posunutie v rovine.
Pomoc. Inšpirujte sa appletom pre určenie transformačných rovníc posunutia v rovine pomocou programu GeoGebra. Návrh
Tu.