Afinná geometria
Afinné zobrazenie
Rôzne dimanzie
V predchádzajúcej kapitole sme riešili úlohy transfomácie euklidovských priestorov
, keď
. V tejto kapitole sa budeme zaoberať prípadom
.
![\small \mathbb E_n, \mathbb E_m \small \mathbb E_n, \mathbb E_m](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a8205dd0c6443a24cb7136ada4b23955.png)
![\small n=m \small n=m](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7868e1c182f58c89fec21c3a8195041c.png)
![\small n \neq m \small n \neq m](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ff856d988a2431b7f5f70036268fff09.png)
Príklad zobrazenie
.
Určte parameter
tak, aby zobrazenie ktoré zobrazuje body
do bodov
v tomto poradí bolo afinné. Pre vhodné
Príklad je prevzatý z práce Monoszová, 2.časť, Cvičenie 3.3.5.
![\small f: \mathbb E_2 \rightarrow \mathbb E_3 \small f: \mathbb E_2 \rightarrow \mathbb E_3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/83636ae23b7cdfc3d8635ab759bcd70d.png)
Určte parameter
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d85cbe02cc02e5eb719efacb6e2ed3a2.png)
![\small A[1, 0], B[0, 1],C[2, p] \small A[1, 0], B[0, 1],C[2, p]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f49c0b3f0bf1453ab07e57c5c4d6e0d0.png)
![\small A'[2,1,-1], B'[3,2,0], C'[1,0,2] \small A'[2,1,-1], B'[3,2,0], C'[1,0,2]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1fc10b7b65fbaf2986dee4ec72a5bc02.png)
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d85cbe02cc02e5eb719efacb6e2ed3a2.png)
Riešenie.
Body
vyjadrime ako lineárne kombinácie
,
kde
.Zápis v maticovom tvare V predchádzajúcej kapitole sme ukázali, že
,
kde
je matica vzorov,
matica obrazov
,
.
Pomocou maticovej kalkulačky určíme inverznú maticu.
Roznásobením
.
a porovaním ľavej a pravej strany dostaneme transformačné rovnice
Body
![\small P[x, y];P'[x', y'] \small P[x, y];P'[x', y']](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/15c79f2a8b929f1e644ab5dcf9d0f0fa.png)
![\small P=a \cdot A+b \cdot B+c \cdot C \small P=a \cdot A+b \cdot B+c \cdot C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f7e13ec245b787ff1387418433a3a924.png)
![\small P'=a \cdot A'+b \cdot B'+c \cdot C' \small P'=a \cdot A'+b \cdot B'+c \cdot C'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/470a3bf120021d25d783d070b04c92d0.png)
kde
![\small a+b+c=1 \small a+b+c=1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/31d06e2919883d2729414fe8bdab5a21.png)
![\small P'=M' \times M^{-1} \times P \small P'=M' \times M^{-1} \times P](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/28426920c33ac9922613dc1a0e0224a0.png)
kde
![\small M \small M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/683f9f1d3f789c4c10f4845477ff0e20.png)
![\small M' \small M'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1d9884a183509679bcafde7538904f09.png)
![\small M=
\left(\begin{matrix}
1 & 0 & 2 \\
0 & 1 & p \\
1 & 1 & 1
\end{matrix}\right) \small M=
\left(\begin{matrix}
1 & 0 & 2 \\
0 & 1 & p \\
1 & 1 & 1
\end{matrix}\right)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ac02e1acfd645a8100d863ad1b8ef0e9.png)
![\small M'=
\left(\begin{matrix}
2 & 3 & 1 \\
1 & 2 & 0 \\
-1 & 0 & 2 \\
1 & 1 & 1
\end{matrix}\right) \small M'=
\left(\begin{matrix}
2 & 3 & 1 \\
1 & 2 & 0 \\
-1 & 0 & 2 \\
1 & 1 & 1
\end{matrix}\right)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8b60c2426cd5c385a754b1b698dd27fa.png)
Pomocou maticovej kalkulačky určíme inverznú maticu.
Roznásobením
![\small P':\left(\begin{matrix} x' \\ y' \\ 1 \end{matrix}\right)=
\left(\begin{matrix}
2 & 3 & 1 \\
1 & 2 & 0 \\
-1 & 0 & 2 \\
1 & 1 & 1
\end{matrix}\right)
\times
\left(\begin{matrix}
\frac{p-1}{p+1} & \frac{-2}{p+1} & \frac{2}{p+1} \\
\frac{-p}{p+1} & \frac{1}{p+1} & \frac{p}{p+1} \\
\frac{1}{p+1} & \frac{1}{p+1} & \frac{-1}{p+1}
\end{matrix}\right)
\times
\left(\begin{matrix}
x \\
y \\
z
\end{matrix}\right)
=
\left(\begin{matrix}
-x+3 \\
-x+2 \\
\frac{-\left(px\right)+3x+4y-4}{p+1} \\
1
\end{matrix}\right) \small P':\left(\begin{matrix} x' \\ y' \\ 1 \end{matrix}\right)=
\left(\begin{matrix}
2 & 3 & 1 \\
1 & 2 & 0 \\
-1 & 0 & 2 \\
1 & 1 & 1
\end{matrix}\right)
\times
\left(\begin{matrix}
\frac{p-1}{p+1} & \frac{-2}{p+1} & \frac{2}{p+1} \\
\frac{-p}{p+1} & \frac{1}{p+1} & \frac{p}{p+1} \\
\frac{1}{p+1} & \frac{1}{p+1} & \frac{-1}{p+1}
\end{matrix}\right)
\times
\left(\begin{matrix}
x \\
y \\
z
\end{matrix}\right)
=
\left(\begin{matrix}
-x+3 \\
-x+2 \\
\frac{-\left(px\right)+3x+4y-4}{p+1} \\
1
\end{matrix}\right)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/14f0f6d110b966738298f2905ae89f62.png)
a porovaním ľavej a pravej strany dostaneme transformačné rovnice
![x' \, = \;\;\;- x \;\;+\;\;0y\;+\;\;3\\
y' \, = \;\;\; - x \;\;+\;\;0y\;+\;\;2\\ \\
z'\; =\frac{-p+3}{p+1}x + \frac{4}{p+1}y + \frac{-4}{p+1}. x' \, = \;\;\;- x \;\;+\;\;0y\;+\;\;3\\
y' \, = \;\;\; - x \;\;+\;\;0y\;+\;\;2\\ \\
z'\; =\frac{-p+3}{p+1}x + \frac{4}{p+1}y + \frac{-4}{p+1}.](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/843c15763e3f2927699bfbb45dee5000.png)
Zobrazenie bude afinným práve vtedy, ak
. Súradnice obrazu ľubovoľného bodu
určíme dosadením súradníc
do transformačných rovníc. Napríklad pre
a
dostaneme
.
Kružnica určená bodmi
má stred v bode
a polomer
a jej parametrické vyjadrenie má tvar pozrite si prácu "Kružnica, Veta 8"
Tu)
.
Po dosadení týchto parametrických súradníc do transformačných rovníc, zistíme, že obrazom je elipsa ležiaca v rovine
. Jej parametrické vyjadrenie má tvar
.
![\small p \neq -1 \small p \neq -1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ac124707928355194f9a5052867f2694.png)
![\small P[x, y] \small P[x, y]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7e18944b1e340466fd42d0882b61be14.png)
![\small x, y \small x, y](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/34ec3580c46d917a421d040adb3541c6.png)
![\small D[3,1] \small D[3,1]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d87ae2aa6878e674fae0498a5a39d4ee.png)
![\small p=3 \small p=3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e3e7a2f6f7529d044089449a47bf4822.png)
![\small D'[0,-1,0] \small D'[0,-1,0]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ce1572c3ffb0d63e754073ce9d707f14.png)
Kružnica určená bodmi
![\small A[1, 0], B[0, 1],C[2, 3] \small A[1, 0], B[0, 1],C[2, 3]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d68e7110804078192907e062e23a2c9c.png)
![\small S \left [\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right ] \small S \left [\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right ]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1f862ef6072de16856c6272e4ef49ff7.png)
![\small \frac{3 \sqrt{2} }{2} \small \frac{3 \sqrt{2} }{2}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/cd92719f25995856dfed9c3aea992ce9.png)
![\small \left [\frac{3}{2}, \frac{3}{2} \right ] +\left [\frac{3 \sqrt{2} }{2}\cos t ,\frac{3 \sqrt{2} }{2}\sin t\right ] \small \left [\frac{3}{2}, \frac{3}{2} \right ] +\left [\frac{3 \sqrt{2} }{2}\cos t ,\frac{3 \sqrt{2} }{2}\sin t\right ]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/540ac5353a475dc3c3788ff54a224437.png)
Po dosadení týchto parametrických súradníc do transformačných rovníc, zistíme, že obrazom je elipsa ležiaca v rovine
![\small x-y-1=0 \small x-y-1=0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4313d859085232ab40c7ce9022296ee3.png)
![\small \left [\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right ] +\left [-\frac{1}{2}\cos t +\frac{3}{2}\sin t,-\frac{1}{2}\cos t +\frac{3}{2}\sin t, \frac{3}{2}\cos t +\frac{1}{2}\sin t\right ], t, 0, 2π \small \left [\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right ] +\left [-\frac{1}{2}\cos t +\frac{3}{2}\sin t,-\frac{1}{2}\cos t +\frac{3}{2}\sin t, \frac{3}{2}\cos t +\frac{1}{2}\sin t\right ], t, 0, 2π](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/49c8dec70429e172c716a85f61c8fbd7.png)
Príklad zobrazenie
.
Určte transformačné rovnice afinného zobrazenia, ktoré zobrazuje body
do bodov
v tomto poradí.
Určte obraz ľubovoľného bodu
a jeho stopu. Príklad je prevzatý z práce (Monoszová, 2.časť, Cvičenie 3.3.2a).
![\small f: \mathbb E_2 \rightarrow \mathbb E_1 \small f: \mathbb E_2 \rightarrow \mathbb E_1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/116042036f78e55cbf5b687de461cfe1.png)
Určte transformačné rovnice afinného zobrazenia, ktoré zobrazuje body
![[2,1], [3,2],[0,1] [2,1], [3,2],[0,1]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/28fd534fed838f9e9fb5d23c36ee99c9.png)
![[2], [0], [10] [2], [0], [10]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3f02af62885a2f990cca75cf9f4dd6ad.png)
Určte obraz ľubovoľného bodu
![\small P[x, y] \small P[x, y]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7e18944b1e340466fd42d0882b61be14.png)
Príklad zobrazenie
.
Určte transformačné rovnice afinného zobrazenia, ktoré zobrazuje body
do bodov
v tomto poradí.
![\small f: \mathbb E_3 \rightarrow \mathbb E_2 \small f: \mathbb E_3 \rightarrow \mathbb E_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3c3a7ffa1dd4784c51639cd65bbdf502.png)
Určte transformačné rovnice afinného zobrazenia, ktoré zobrazuje body
![[1,2,3], [1,1,1],[1,0,1],[0,1,3] [1,2,3], [1,1,1],[1,0,1],[0,1,3]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d8a837e320e9e2612eac54ce0fc479c3.png)
![[5,4], [2,1], [1,0], [3,2] [5,4], [2,1], [1,0], [3,2]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5da5cd5c780cbe37d8f10ecca2ada2c3.png)
- Pokúste sa toto afinné zobrazenie geometricky interpretovať pomocou GeoGebry. Príklad je prevzatý z práce (Monoszová, 2.časť, Cvičenie 3.3.7).
- Určte obraz nejakej kružnice a jej stredu.