Afinná geometria
Vektorový priestor
Lineárna závislosť vektorov
V predchádzajúcej kapitole sme pri definícii vektorového priestoru uviedli, že dvojica
je Abelova komutatívna grupa.
To znamená, že binárna operácia "+" je komutatívna a asociatívna. Zároveň sme definovali násobenie skalárom.
Pomocou týchto dvoch operácií pripomenieme pojmy: lineárna kombinácia, závislosť a nezávislosť vektorov, ktoré sú dôležité a potrebné pri geometrickej manipulácii s vektormi.
![\small (V,+) \small (V,+)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b6af4f28503a7795775839e2afb826d8.png)
Lineárna kombinácia.
Nech je daných
vektorov
. Každý vektor
vyjadrený v tvare
, kde
sú reálne čísla, sa nazýva lineárna kombinácia vektorov
.
Nech je daných
![n n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bfbdd7d089006253c9a32f7c78c15270.png)
![\pmb v_1, \pmb v_2, ... , \pmb v_n \pmb v_1, \pmb v_2, ... , \pmb v_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/518711fe0d08c2af207e433d57841bd5.png)
![\pmb v \pmb v](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/55431bc0c6eb729a0efe0204ce2ff024.png)
![\pmb v = c_1 \pmb v_1 + c_2 \pmb v_2 + … + c_n \pmb v_n \pmb v = c_1 \pmb v_1 + c_2 \pmb v_2 + … + c_n \pmb v_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3b0b488452936353eb497d6c93194213.png)
![c_1, c_2, …, c_n c_1, c_2, …, c_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/79b641f8a62d9a3b02dabb60a5ed3997.png)
![\pmb v_1, \pmb v_2, ... , \pmb v_n \pmb v_1, \pmb v_2, ... , \pmb v_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/32e0f38008ff6d37083d926813036232.png)
Príklady.
Lineárna závislosť.
Vektory
voláme lineárne závislé, ak rovnica
je splnená tak, že aspoň jedno z čísel
je rôzne od nuly.
Vektory
![\pmb v_1, \pmb v_2, ... , \pmb v_n; n \geq 1 \pmb v_1, \pmb v_2, ... , \pmb v_n; n \geq 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/52ad10025f3737d8996ce8e3ebfbbd37.png)
![\vec{0} = c_1 \pmb v_1 + c_2 \pmb v_2 + … + c_n \pmb v_n \vec{0} = c_1 \pmb v_1 + c_2 \pmb v_2 + … + c_n \pmb v_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b6bb967339bb2a4e28cbf2e5c6cc63f8.png)
je splnená tak, že aspoň jedno z čísel
![c_1, c_2, …, c_n c_1, c_2, …, c_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/79b641f8a62d9a3b02dabb60a5ed3997.png)
Príklady.
Po zavedení pojmov lineárna závislosť a lineárna nezávislosť môžeme pristúpiť k pojmom dimenzia a báza vektorového priestoru. Predtým musíme zadefinovať lineárny obal
vektorov a pridať niektoré vektorové axiómy. V ďalšom budeme uvažovať vektorový priestor
nad telesom
.
![r r](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1af9dcecc465950e25f7153943970180.png)
![\small V \small V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9072caf2b3287e8d02e10fc0ce00f2dc.png)
![\small T \small T](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d635c1b89845af9a73b702f5942978ec.png)
Definícia.
Nech
je vektorový priestor nad telesom
a nech sú dané vektory
. Potom množinu všetkých vektorov
nazývame lineárny obal vektorov
alebo podpriestor
generovaný vektormi
.
Označujeme ho
.
Ak platí
, hovoríme, že vektory
generujú vektorový priestor
.
Nech
![\small V \small V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9072caf2b3287e8d02e10fc0ce00f2dc.png)
![\small T \small T](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/94f81861bff821ac01d3ee981ad03814.png)
![\small \pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_r} ∈ V \small \pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_r} ∈ V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/da6cac1648631230d85f05fa210558ff.png)
![\small M = \lbrace a_1 \cdot \pmb {v_1} + a_2 \cdot \pmb {v_2}+ \cdot \cdot \cdot +a_r \cdot \pmb {v_r};\;a_i \in T,\; v_i \in V \rbrace \small M = \lbrace a_1 \cdot \pmb {v_1} + a_2 \cdot \pmb {v_2}+ \cdot \cdot \cdot +a_r \cdot \pmb {v_r};\;a_i \in T,\; v_i \in V \rbrace](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/90a7727d64071f73918785d098edcefa.png)
nazývame lineárny obal vektorov
![\pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_r} \pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_r}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/acb217c60c3144478176a9f091aa20db.png)
![\pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_r} \pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_r}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/eea792ea6781f3b59fd601553d190ef2.png)
![\small M =: \pmb[ \pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_r}\pmb] \small M =: \pmb[ \pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_r}\pmb]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5789dac5155440696772163cb4343bad.png)
Ak platí
![\small \pmb[\pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_r}\pmb ]= V \small \pmb[\pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_r}\pmb ]= V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/355f904d1a775cad94eb0c3b2418a0ca.png)
![\pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_r} \pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_r}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7818413d0bf0c4a95f999ef4a399b183.png)
![\small V \small V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9072caf2b3287e8d02e10fc0ce00f2dc.png)
Cvičenie.
-
Zistite, či vektor
patrí do lineárneho obalu množiny
.
Dokážte, že ľubovoľný vektorleží v lineárnom obale množiny
pre ľubovoľnú trojicu
reálnych čísel.
-
Je daná množina
. Rozhodnite, či je vektor
prvkom lineárneho obalu množiny
.
Množina obsahuje trojice prvkov telesazvyškových tried modulo 5.
-
Zistite, či vektor
patrí do lineárneho obalu množiny
. Ďalšie úlohy na Tu.
Riešenie
Cvičenie 1
Hľadajme koeficienty
, pre ktoré platí rovnosť
.
Po úprave a porovnaní jednotlivých zložiek dostávame sústavu
Napríklad Gaussovou eliminačnou metódou zistíme, že sústava má riešenie pre všetky
. Nájdite toto riešenie. Pozrite si prácu [Olšák, str. 24].
Cvičenie 2
Cvičenie 1
Hľadajme koeficienty
![\small α, β, γ \small α, β, γ](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/09069ef02631573fd989b0d436e510fa.png)
![\small (a, b, c) = α (1, 2, 3) + β (1, 0, 2) + γ (−2, 1, 0) \small (a, b, c) = α (1, 2, 3) + β (1, 0, 2) + γ (−2, 1, 0)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/834baff8067739e58fff0561ed42c4d5.png)
Po úprave a porovnaní jednotlivých zložiek dostávame sústavu
![\small \;
α + β − 2γ = a\\
\small 2α+\;\; \;\;\; \;γ = b\\
\small 3α + 2β \;\; \;\;= c. \small \;
α + β − 2γ = a\\
\small 2α+\;\; \;\;\; \;γ = b\\
\small 3α + 2β \;\; \;\;= c.](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/063e0cbbef05ea89d2456a15d2b8c45f.png)
Napríklad Gaussovou eliminačnou metódou zistíme, že sústava má riešenie pre všetky
![\small a, b, c ∈ R \small a, b, c ∈ R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3cae8c1375482d05e847f5644c43e3ee.png)
Cvičenie 2
- Lineárny obal množiny
priestoru
je množina všetkých lineárnych kombinácií vektorov množiny
s koeficientmi z poľa. Teda stačí zistiť, či je možné vektor
zapísať ako lineárnu kombináciu vektorov množiny
.
- Vektor
patrí do lineárneho obalu množiny
ak existujú prvky
tak, aby
.
Pre každú vektorovú zložku získame rovnicu. Trojica nasledujúcich rovníc tvorí sústavu, ktorú vyriešime. Pozor – sústavu riešime nad!
Sčítaním prvej a druhej rovnice dostaneme
leboa sčítaním 3.r.+2.r. dostanme
odkiaľ. Sústava má v poli
riešenie. Vektor
je lineárnou kombináciou vektorov množiny
. Preto
.