Afinná geometria
Vektorový priestor
Syntetický (geometrický) prístup
- Orientovaná úsečka je úsečka, ktorej krajné body majú určené poradie (pripúšťame aj nulovú orientovanú úsečku).
Ak
je orientovaná úsečka, bod
sa nazýva jej začiatočný bod, bod
jej koncový bod.
- Hovoríme, že orientované úsečky
sú súhlasne orientované (rovnobežné, majú ten istý smer), ak polpriamky
incidujú s priamkami tej istej osnovy a zároveň:
- Orientované úsečky
sú ekvivalentné ak stredy úsečiek
sú totožné.
- Množina všetkých orientovaných úsečiek ekvivalentných s
sa nazýva geometrický vektor.
- Orientovaná úsečka
sa nazýva reprezentant (umiestnenie) vektora
, zapisujeme
.
- Geometrický vektor sa nazýva aj voľný vektor (množina všetkých orientovaných úsečiek) a konkrétna orientovaná úsečka sa nazýva viazaný vektor.
- Orientovaná úsečka
je reprezentuje opačný vektor k vektoru
a označujeme ho
.
Cvičenie - [Mon 1.1.16 b]. Nezabudnite na nulové vektory.
Východiskové definície
Vo všeobecnosti vektor je množina všetkých navzájom zhodných, súhlasne orientovaných úsečiek.
Umiestnením vektora sa nazýva každá orientovaná úsečka, ktorá tento vektor určuje. Umiestnením vektora do bodu sa nazýva také jeho umiestnenie, ktorého začiatočným bodom je daný bod.
Vektor určený orientovanou úsečkou
označíme tiež ako rozdiel bodov:
. Otvorte si applet
Tu.
"Slovo vektor je prevzaté z latinského slova vector („nositeľ“, …). Vektor vznikol z potrieb fyziky (kde napr. vektor interpretujeme ako silu), do matematiky zaviedol vektory v r. 1853 írsky matematik a fyzik W. R. Hamilton (1805 – 1865). Takmer súčasnú podobu dal „vektorovému počtu“ na konci 19. storočia americký fyzik J. W. Gibbs (1839 – 1903)." Prevzaté z práce (Vranková).
Vo všeobecnosti vektor je množina všetkých navzájom zhodných, súhlasne orientovaných úsečiek.
Umiestnením vektora sa nazýva každá orientovaná úsečka, ktorá tento vektor určuje. Umiestnením vektora do bodu sa nazýva také jeho umiestnenie, ktorého začiatočným bodom je daný bod.
Vektor určený orientovanou úsečkou
![\small \overrightarrow{AB} \small \overrightarrow{AB}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6f8a3607a018bfc398ec96ea0df53727.png)
![\small B-A \small B-A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/25ed08e280059a67a85ff3960f5c963d.png)
"Slovo vektor je prevzaté z latinského slova vector („nositeľ“, …). Vektor vznikol z potrieb fyziky (kde napr. vektor interpretujeme ako silu), do matematiky zaviedol vektory v r. 1853 írsky matematik a fyzik W. R. Hamilton (1805 – 1865). Takmer súčasnú podobu dal „vektorovému počtu“ na konci 19. storočia americký fyzik J. W. Gibbs (1839 – 1903)." Prevzaté z práce (Vranková).
Okruh
s jednotkou ![1 \in \small O 1 \in \small O](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8194fd5b2747f1870ec73aa6351feb53.png)
), v ktorom každý nenulový prvok má vzhľadom na násobenie inverzný prvok, nazývame telesom.
Komutatívne teleso, v ktorom násobenie je komutatívna operácia, nazývame pole.
![\small (O, +, ·) \small (O, +, ·)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1854f640c592807f915212e15f3068ad.png)
![1 \in \small O 1 \in \small O](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8194fd5b2747f1870ec73aa6351feb53.png)
![\;\;(1 \neq0 \in \small O \;\;(1 \neq0 \in \small O](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/90ad359aecbce4888f03a819d76c4a22.png)
Nech sú dané
• neprázdna množina
, ktorej prvky nazývame vektory,
• pole
, ktorého prvky nazývame skaláry,
• zobrazenie
, ktoré nazývame sčítanie vektorov,
• zobrazenie
, ktoré nazývame násobenie vektora skalárom (prvkom z telesa
).
• neprázdna množina
![\small V \small V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ec115699d87a5cadb780ccab753d128f.png)
• pole
![\small P \small P](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bf0dfa8449c5cc91668eb535bbc06997.png)
• zobrazenie
![+:\; \small V \times \small V \to \small V +:\; \small V \times \small V \to \small V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6b63a39569e38ba620599b641658e657.png)
• zobrazenie
![\cdot :\; \small P \times \to V \cdot :\; \small P \times \to V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f7b0ed007d7f5916194a1dcc873e4f25.png)
![\small P \small P](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0c5410547ae91f472c349f2df3a457c6.png)
Definícia.
Vektorový priestor nad poľom1)
je množina
spolu s dvoma binárnymi operáciami (
)
práve vtedy, keď súčasne platia vzťahy:
Vektorový priestor nad poľom1)
![\small P \small P](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/97acf01ca734f8f8ebb07e400d5826bc.png)
![\small V \small V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ec115699d87a5cadb780ccab753d128f.png)
![+, \cdot +, \cdot](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2d6f0cb3f36f41f51bd817b7af23e355.png)
je abelovská grupa.
Vektorové axiómy
- asociatívnosť pre násobenie vektora skalárom:
- invariancia vektora pri vynásobení jednotkovým prvkom poľa:
,
kdeoznačuje multiplikatívnu identitu vo
- distributívnosť (skalárneho) násobenia k sčítaniu vektorov:
- distributívnosť násobenia vektora
, ku sčítaniu skalárov
:
Na zopakovanie základných pojmov a vlastností algebraickej štruktúry "Vektorový priestor" odporúčame okrem práce od profesora Haviara aj e-knihu venovanú vektorovým priestorom od RNDr. Edity Vrankovej z Trnavskej univerzity v Trnave. Tiež na zopakovanie operácií s vektormi odporúčame prácu "Vektory v geometrii" od PaedDr. Miroslava Tisoňa, PhD., ktorá je dostupná
Tu.
Interpretujte vzťahy uvedené v definícii vektorového priestoru v prostredí GeoGebra!
Interpretujte vzťahy uvedené v definícii vektorového priestoru v prostredí GeoGebra!
Analytický (algebraický) prístup
Príklady vektorového priestoru
- Vektory v rovine so sčitovaním a násobením ako ho poznáte zo strednej školy, tvoria vektorový priestor nad telesom reálnych čísel
.
- Usporiadané
-tice reálnych čísel s operáciami
definovanými po súradniciach tvoria vektorový priestor nad telesom reálnych čísel
.
V ďalších častiach budeme prevažne pracovať s vektormi, ktoré tvoria usporiadané-tice reálnych čísel a to len pre rovinu
resp. priestor
Ďalšie príklady vektorových priestorov sú množiny (všetkých)
- polynómov v jednej neurčitej nad poľom reálnych čísel, operácia - sčítanie polynómov "podľa rovnakých mocnín",
- reálnych funkcií, operácia - bežný súčet funkčných hodnôt,
- matíc typu
, operácia sčítania matíc - sčítanie v rovnakom riadku a stĺpci.
Cvičenie.
Nech je daná množina
usporiadaných trojíc resp. dvojíc s obvyklým sčitovaním "po zložkách" trojíc resp. dvojíc reálnych čísel.
Nech je daná množina
![\small V \small V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c39e7f7742d8f0e61e0309981a6a9761.png)
Riešenia.
- Uzavretosť operácie sčítania.
Pre ľubovoľné dva vektorypre ich súčet platí
odkiaľ dostávame, že operácia + je uzavretá.
- Postupujeme podobne ako v predchádzajúcom prípade.
- Operácia sčítania zrejme nie je uzavretá, lebo pre ľubovoľné dva vektory
.
-
Uvažujme dva ľubovoľné polynómy
, ktoré sú prvkami množiny
. Ďalej majme polynóm
, ktorý je ich súčtom. Pre polynómy
platí
,
.
Sčítaním oboch rovníc získame. Odkiaľ dostávame
,
teda že polynóm, čo je súčet ľubovoľných dvoch polynómov množiny
, je opäť prvkom tejto množiny. Tým sme dokázali uzavretosť sčítania vektorov. Pokúste sa o grafickú interpretáciu vektorov, ak budeme brať do úvahy iba polynómy 1. stupňa alebo len polynómy 2. stupňa. Viete určiť počiatočné a koncové body týchto vektorov? Otvorte so applet Tu.
__________________________________________________________________________________________
1) Pole je teleso s komutatívnou multiplikatívnou operáciou
.
2) Pozrite si stránku https://reseneulohy.cz/1356/vektorovy-prostor-ii
1) Pole je teleso s komutatívnou multiplikatívnou operáciou
![\cdot \cdot](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/74389537fcbccc3cd64f712c09bd2c82.png)
2) Pozrite si stránku https://reseneulohy.cz/1356/vektorovy-prostor-ii