Afinná geometria
Afinný n-rozmerný priestor
Afinný podpriestor
Zvoľme si v afinnom priestore
jeden pevný bod
a nejaké zameranie
, ktoré je podmnožinou vektorového zamerania
. Dostaneme podmnožinu bodov afinného priestoru, ktorá bude spĺňať axiómy afinného priestoru. Takouto množinou je napríklad priamka v euklidovskej rovine alebo rovina v euklidovskom priestore.
![\small (\mathcal A, \mathit V, +) \small (\mathcal A, \mathit V, +)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/329e50a32fe1d792506a2d73c42d4c36.png)
![\small P \small P](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bf0dfa8449c5cc91668eb535bbc06997.png)
![\small \mathit V' \small \mathit V'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f70a43f43af97f76d9647b1aa3ee71d8.png)
![\small \mathit V \small \mathit V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4326af8830cbde81e55427265e07afad.png)
Definícia.
Nech
je afinný priestor nad poľom
. Neprázdnu podmnožinu
nazývame afinný podpriestor resp. lineárna varieta afinného priestoru
,
ak existuje vektorový podpriestor
, pričom platí
Nech
![\small (\mathcal A, \mathit V, +) \small (\mathcal A, \mathit V, +)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/329e50a32fe1d792506a2d73c42d4c36.png)
![\small \mathbb R \small \mathbb R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3e6e43a5e6357c75c1b1bf4ff463ccd5.png)
![\small \mathcal A': \mathcal A' \subset \mathcal A \small \mathcal A': \mathcal A' \subset \mathcal A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/95058784e82ccf506b45cd4dea2f6af5.png)
![\small \mathbb A \small \mathbb A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5d969cc83272021122706bfe713b6955.png)
![\small \mathrm V' \subset \mathrm V \small \mathrm V' \subset \mathrm V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bc29ea2dec4c06066ac36068ff60347a.png)
Tvrdenie.
Nech
je ľubovoľný bod z afinného priestoru
. Potom bod
leží v podpriestore
, práve vtedy, keď platí rovnosť
,
kde
;
sú reálne čísla a
je
lineárne nezávislých vektorov
podpriestoru
. Uvedená rovnosť sa nazýva parametrické vyjadrenie podpriestoru
. Čísla
sa nazývajú parametre bodu
.
Nech
![\small X= [x_1, x_2, \cdot \cdot \cdot x_n] \small X= [x_1, x_2, \cdot \cdot \cdot x_n]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/849e663d14ddce160818d00568aeb6ba.png)
![\small \mathbb A^n \small \mathbb A^n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d89d0a8339f80ad6f78c8ab2c698c07f.png)
![\small X \small X](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/02689da80f537916cba117e217c96a92.png)
![\small \mathbb A^k \small \mathbb A^k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1466df7ed2df31b17db15fc51be4a582.png)
![\small X =A+t_1 \vec a_1 + t_2\vec a_2 + \cdot \cdot \cdot + t_k \vec a_k \small X =A+t_1 \vec a_1 + t_2\vec a_2 + \cdot \cdot \cdot + t_k \vec a_k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/02d2fd1a598104933bde1ec2ddd27f18.png)
kde
![\small A= [a_1, a_2, \cdot \cdot \cdot a_n] \in \mathcal A^k \small A= [a_1, a_2, \cdot \cdot \cdot a_n] \in \mathcal A^k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6842e3db0adab2c2a859a2aef4c471cd.png)
![\small t_1 , t_2 , \cdot \cdot \cdot , t_k \small t_1 , t_2 , \cdot \cdot \cdot , t_k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8a7caba1732d38a9b1aa97e36ccdf823.png)
![\small \vec a_1 ,\vec a_2, \cdot \cdot \cdot ,\vec a_k \small \vec a_1 ,\vec a_2, \cdot \cdot \cdot ,\vec a_k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a7ac2d681e453a38c0691a8020005104.png)
![\small k \small k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/05a0604e4a27d5b402b3e80701e06ff5.png)
![\small \mathcal A^k (\mathcal A^k \subset \mathcal A) \small \mathcal A^k (\mathcal A^k \subset \mathcal A)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d74ce829bb0f6fd811423007511f0025.png)
![\small \mathbb A^k \small \mathbb A^k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1466df7ed2df31b17db15fc51be4a582.png)
![t_1 , t_2 , \cdot \cdot \cdot , t_k t_1 , t_2 , \cdot \cdot \cdot , t_k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/64e5fd3f92972a5e6b28e66a59551a01.png)
![\small X \small X](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/02689da80f537916cba117e217c96a92.png)
Poznámky.
Pre rovnosť
sa tradične používa nie úplne presný názov parametrické rovnice podpriestoru. Parametrické rovnice podpriestoru
majú známy tvar
...
,
kde
sú súradnice bodu
a
sú súradnice vektora
v
kanonickej báze
. Túto sústavu rovníc môžeme zapísať pomocou matíc. Maticový tvar parametrických rovníc vyzerá takto
Maticu sústavy
z predchádzajúceho vyjadrenia nazývame matica prechodu od afinnej súradnicovej sústavy
do sústavy
.
Pre rovnosť
![\small X =A+t_1 \vec a_1 + t_2 \vec a_2 + \cdot \cdot \cdot + t_k \vec a_k \small X =A+t_1 \vec a_1 + t_2 \vec a_2 + \cdot \cdot \cdot + t_k \vec a_k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bf78a3bbf49fde0bca44512ab603b337.png)
![\small \mathbb A^k \small \mathbb A^k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1466df7ed2df31b17db15fc51be4a582.png)
![\small x_1 =a_{1}+a_{11}t_1 + \cdot \cdot \cdot + a_{1k}t_k \small x_1 =a_{1}+a_{11}t_1 + \cdot \cdot \cdot + a_{1k}t_k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7575d1867147af96ef0f6a6768041dc6.png)
![\small x_2 =a_{2}+a_{21}t_1 + \cdot \cdot \cdot + a_{2k}t_k \small x_2 =a_{2}+a_{21}t_1 + \cdot \cdot \cdot + a_{2k}t_k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a09228ecf634db1f0cfa8aedd3d88ce8.png)
...
![\small x_n =a_{n}+a_{n1}t_1 + \cdot \cdot \cdot + a_{nk}t_k \small x_n =a_{n}+a_{n1}t_1 + \cdot \cdot \cdot + a_{nk}t_k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3d42928a56f6aaf81164446ff7554ad4.png)
kde
![\small X= [x_1, x_2, \cdot \cdot \cdot x_n] \small X= [x_1, x_2, \cdot \cdot \cdot x_n]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/849e663d14ddce160818d00568aeb6ba.png)
![\small X \small X](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/02689da80f537916cba117e217c96a92.png)
![\left(a_{i0},a_{i1}, \cdot \cdot \cdot ,a_{ik}\right) \left(a_{i0},a_{i1}, \cdot \cdot \cdot ,a_{ik}\right)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ba2d2c69da42c627fa3c3bfc1c78bb6d.png)
![\vec a_i \vec a_i](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d399d12ff36b7e73d72f35952af61bcf.png)
![\left\langle\vec e_1 ,\vec e_2, \cdot \cdot \cdot ,\vec e_n\right\rangle \left\langle\vec e_1 ,\vec e_2, \cdot \cdot \cdot ,\vec e_n\right\rangle](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/79ce65a8598af37c010a32ae1136bb9c.png)
![\\ \; \\
\left( \begin{array}{} x_1 \\
x_2 \\
\;· \\
x_n \\ \end{array} \right) =\left( \begin{array}{} a_{1} \\
a_{2} \\
\;· \\
a_{n}
\end{array} \right)
+\left( \begin{array}{} a_{12} & a_{12} & ··· & a_{1k} \\
a_{22} & a_{22} & ··· & a_{2k} \\
\; ··· & \\
a_{n2} & a_{n2} & ··· & a_{nk}
\end{array} \right) ·
\left( \begin{array}{} t_1 \\
t_2 \\
\;· \\
t_k \\ \end{array} \right)\\ \; \\ \\ \; \\
\left( \begin{array}{} x_1 \\
x_2 \\
\;· \\
x_n \\ \end{array} \right) =\left( \begin{array}{} a_{1} \\
a_{2} \\
\;· \\
a_{n}
\end{array} \right)
+\left( \begin{array}{} a_{12} & a_{12} & ··· & a_{1k} \\
a_{22} & a_{22} & ··· & a_{2k} \\
\; ··· & \\
a_{n2} & a_{n2} & ··· & a_{nk}
\end{array} \right) ·
\left( \begin{array}{} t_1 \\
t_2 \\
\;· \\
t_k \\ \end{array} \right)\\ \; \\](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0e785d1c90edfcfd8e58fc3879c10fb0.png)
Maticu sústavy
![\small \pmb a_{ij} \small \pmb a_{ij}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0b52e3694a7c13ab2ca916f487ef66d7.png)
![\small \left\langle O;\pmb {e_1} ,\pmb {e_2} , \cdot \cdot \cdot ,\pmb {e_n}\right\rangle \small \left\langle O;\pmb {e_1} ,\pmb {e_2} , \cdot \cdot \cdot ,\pmb {e_n}\right\rangle](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8da31ad659605cceb78a1800dd4f9912.png)
![\small \left\langle A;\pmb {a_1} ,\pmb {a_2} , \cdot \cdot \cdot ,\pmb {a_k} \right\rangle \small \left\langle A;\pmb {a_1} ,\pmb {a_2} , \cdot \cdot \cdot ,\pmb {a_k} \right\rangle](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/df0a851d19054612bcf1bdfdc40f3e8b.png)
Príklad 1.
Zistite, či body
incidujú s podpriestorom (ležia v podpriestore)
. Dané sú
bod
a vektory
. Nájdite parametrické vyjadrenie tohto podpriestoru. Vytvorte grafickú ilustrácia k tomuto príkladu.
Zistite, či body
![\small M = [9, -2, 5], N = [4, 1, 6] \small M = [9, -2, 5], N = [4, 1, 6]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8a3cde48cba700d2cdcf1f273d3c9937.png)
![\small \left\langle A, u, v\right\rangle \small \left\langle A, u, v\right\rangle](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9649e604b54132162b7588015be37487.png)
![\small A = [1, 3, 2] \small A = [1, 3, 2]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f7db82372dc4ba7d322d4d064720b97d.png)
![\small u = (2, -1, 1), v = (1, -1, 0) \small u = (2, -1, 1), v = (1, -1, 0)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/578de65b735d8eeafc1804aa477b106a.png)
Riešenie.
Hľadáme reálne čísla
, pre ktoré platí rovnosť (vektorová rovnica má práve jedno riešenie)
resp.
Odpoveď: Bod
inciduje s daným podpriestorom, riešenie nájdete
Tu. Ukážte, že bod
neleží v danom podpriestore.
Hľadáme reálne čísla
![\small r,s \small r,s](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/dd630c239074157212886a40a881a0fa.png)
![\small [9, -2, 5]= [1, 3, 2]+ r(2, -1, 1)+ s (1, -1, 0) \small [9, -2, 5]= [1, 3, 2]+ r(2, -1, 1)+ s (1, -1, 0)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/987fedb1246681eac4577b8596ffe7df.png)
![\small [4, 1, 6]= [1, 3, 2]+ r(2, -1, 1)+ s (1, -1, 0) \small [4, 1, 6]= [1, 3, 2]+ r(2, -1, 1)+ s (1, -1, 0)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/93de6ddda2e4e5ebafc0d01957f5e5fc.png)
Odpoveď: Bod
![\small M = [9, -2, 5] \small M = [9, -2, 5]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4d2415124dd26dc5ad3d4122c173aa75.png)
![\small N = [4, 1, 6] \small N = [4, 1, 6]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f2bd7784e5e4385754858ca3d595e26d.png)
Neparametrické vyjadrenie podpriestoru
V afinnom priestore
môžeme lineárne podpriestory
vyjadriť aj neparametricky pomocou sústavy
lineárnych rovníc s
neznámymi.
Ich počet je závislý od dimenzie podpriestoru
a od dimenzie daného priestoru
.
Musí byť splnená rovnosť:
. V stredoškolskej analytickej geometrii
![\small \mathbb A^n \small \mathbb A^n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d89d0a8339f80ad6f78c8ab2c698c07f.png)
![\small \mathbb A^k \subset \mathbb A^n \small \mathbb A^k \subset \mathbb A^n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5ee2a007ab5fd3731b11435882ca60f1.png)
![\small p \small p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/87c9c4f2b312b6964574ff10cde4858d.png)
![\small n \small n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f8cd9f4bbe61543999cc86201a0470d5.png)
![\small k \small k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/05a0604e4a27d5b402b3e80701e06ff5.png)
![\small n \small n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f8cd9f4bbe61543999cc86201a0470d5.png)
![\small p=n-k \small p=n-k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/af34c9f285479380dc170d55c0e50bf6.png)
- Priamka (
) ležiaca v rovine (
) je vyjadrená jedinou lineárnou rovnicou s dvoma neznámymi. Bod (
) je chápaný ako prienik dvoch priamok, teda môže byť vyjadrený ako sústava dvoch lineárnych rovníc.
- V afinnom priestore
rovina (nadrovina (
)) je vyjadrená jedinou lineárnou rovnicou s troma neznámymi
. Priamka je prienikom dvoch rovín a na jej určenie sú potrebné dve rovnice
.
Príklad 2.
- Nájdite neparametrické vyjadrenie roviny z príkladu 1 a zistite, či body
incidujú s touto rovinou.
- Nájdite parametrické aj neparametrické vyjadrenie roviny v
, ktorá prechádza bodom
a má smer
.
Riešenie Tu
Vytvorte grafickú ilustrácia k tomuto príkladu.
Pre lineárny podpriestor platí, že s každými dvoma bodmi
obsahuje tento podpriestor aj bod
.
Dôkaz tohto tvrdenia sa robí v základnom kurze z lineárnej algebry.
![\small A,B \small A,B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d4d06e02171ea5e4bb3bda6d2b14c7c0.png)
![\small A+t(B-A);\;t \in \mathbb R \small A+t(B-A);\;t \in \mathbb R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4373c73d6a354313e97e52ad06e0be04.png)
Dôkaz tohto tvrdenia sa robí v základnom kurze z lineárnej algebry.
Lineárne podpriestory s danou dimenziou.
- Afinný podpriestor dimenzie 1 sa nazýva afinnou priamka.
- Afinný podpriestor dimenzie 2 sa nazýva afinnou rovina.
- Afinný podpriestor dimenzie
-1 v
-rozmernom afinnom priestore sa nazýva nadrovina . Zrejme priamka je zároveň nadrovinou v priestore
a rovina je nadrovinou v
.
- Budeme hovoriť, že podpriestor
je
-rozmerný (má dimenziu
), ak podpriestor
má dimenziu
(dim
).
Príklady.