Interaktívna geometria - planimetria (pracovná verzia)
Kružnica, kruh
Mocnosť bodu ku kružnici
Je daná kružnica
so stredom
a polomerom
. Bod
leží zvonka kružnice. Nech
je sečnica
kružnice
vedená bodom
a
sú priesečníky sečnice s kružnicou
.
![\small k(S,r) \small k(S,r)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/376e2f36a6d801ef990ba9f179932608.png)
![\small S \small S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/28acd24a6211b4a19687ce89123a567d.png)
![r r](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.png)
![\small M \small M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8eb269105a4cc9beb305b4ce34541859.png)
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d572956b265c891bdb3bacbcca08e1fd.png)
![k k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/585ec141563b1ad143178d444e0b654e.png)
![\small M \small M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8eb269105a4cc9beb305b4ce34541859.png)
![\small A,B \small A,B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6e3aca76cc5885c8b98b036b0291b3df.png)
![k k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/585ec141563b1ad143178d444e0b654e.png)
Skúmajme súčin
. Po otvorení motivačného appletu a experimentovaním s polohou bodu
, môžeme vysloviť hypotézu:
![\small m = |MA| \cdot |MB| \small m = |MA| \cdot |MB|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3f35c81583dbc9ca48bb098d9e62c43b.png)
![\small M \small M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8eb269105a4cc9beb305b4ce34541859.png)
Otvorte si motivačný applet Tu.
Otázky.
Je súčin
nezávislý od polohy sečnice
? Inými slovami je konštantný pre ľubovoľnú polohu bodov
?
Môžeme definovať súčin aj pre prípad, ak bod
leží vo vnútri kružnice
? Odpovede nájdeme vo forme dôkazov viet o mocnosti.
Je súčin
![\small m = |MA| \cdot |MB| \small m = |MA| \cdot |MB|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6876548c5456f1e1531115933c0bc287.png)
![\small p= \overleftrightarrow{AB} \small p= \overleftrightarrow{AB}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c972851c0d2930523159564562b65e24.png)
![\small A,B \small A,B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6e3aca76cc5885c8b98b036b0291b3df.png)
Môžeme definovať súčin aj pre prípad, ak bod
![\small M \small M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8eb269105a4cc9beb305b4ce34541859.png)
![\small k(S,r) \small k(S,r)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/376e2f36a6d801ef990ba9f179932608.png)
Definícia (Mocnosť bodu ku kružnici).
Ľubovoľnému bodu
roviny možno priradiť reálne číslo
, pre ktorého absolútnu hodnotu platí
, pričom
Ľubovoľnému bodu
![\small M \small M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1a9e637e1c6572a0043896114844bb06.png)
![m m](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png)
![\small |m| = |MA| × |MB| \small |m| = |MA| × |MB|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/aa8d9268ccd567b276bd0e1cb44c6fbb.png)
Dôkaz.
Dokázať tento dôsledok je veľmi jednoduché. Stačí zvoliť sečnicu
tak, aby prechádzala stredom kružnice. V takom prípade bude
![\small CD \small CD](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c1d29055fe12bab1a6b0ea1f9f39ea9b.png)
Poznámka.
V prípade, keď bod
leží vo vnútri kružnice tvrdenie vety 1 a tvrdenie dôsledku ostáva v platnosti. Trojuholníky
sú podobné. Naviac v súlade s definíciou mocnosti bodu ku kružnici, bude v prípade bodu ležiaceho vo vnútri kružnice, číslo
záporné. Pozrite si ilustračný obrázok.
V prípade, keď bod
![\small M \small M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8eb269105a4cc9beb305b4ce34541859.png)
![\small \triangle MCA, \triangle MBD \small \triangle MCA, \triangle MBD](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d3b32c8c6ddb55885408838bf67090e3.png)
![\small m = v^2 -r^2 \small m = v^2 -r^2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/eeff05fac214ff218721d15379827cce.png)
Nasledujúca veta platí len v prípade, že bod
![\small M \small M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5b1c3d7b89767a91efa9b712360c214f.png)
![k k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/365c0b3ff8a6fa58b7ae709949b55608.png)
![\small M \small M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5b1c3d7b89767a91efa9b712360c214f.png)
![\small |MT| \small |MT|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5de1275b720b7749f6702e2fea5f283c.png)
![\small T \small T](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bb696248eb2c28bc8a9a6dff20438463.png)
![\small M \small M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5b1c3d7b89767a91efa9b712360c214f.png)
Veta 2.
Pre mocnosť bodu
, ktorý leží zvonka kružnice
, platí rovnosť
. Bod
je dotykový bod dotyčnice, ktorá prechádza bodom
.
Pre mocnosť bodu
![\small M \small M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5b1c3d7b89767a91efa9b712360c214f.png)
![\small k(S,r) \small k(S,r)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ded4c1dd1277d0c7b085e809f42d50e5.png)
![\small m = |MT|^2=v^2 -r^2 \small m = |MT|^2=v^2 -r^2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/07bb1df9ef8d7696e1e812f8cab528a5.png)
![\small T \small T](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d635c1b89845af9a73b702f5942978ec.png)
![\small M \small M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8eb269105a4cc9beb305b4ce34541859.png)
Dôkaz vety 2 ilustrujeme ako limitný prechod vo veta 1.
Pomocou obrázka urobte korektný matematický dôkaz. Využite podobnosť trojuholníkov
, ktoré majú zhodné uhly. Pre pomery odpovedajúcich strán platí
.
Pri odvodení vzťahu
môžeme využiť skutočnosť, že trojuholník
je pravouhlý a použiť Pytagorovu vetu.
- Vzťah
platí pro ľubovoľnú sečnicu.
- Pohybujme sečnicou tak, aby sa postupne blížila k dotyčnici v bode
.
- Bod
i bod
sa blížia k bodu
.
- Veľkosť úsečky
sa blíži k veľkosti úsečky
.
- Z toho usudzujeme, že súčin
sa blíži k súčinu
.
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/438795/mod_book/chapter/11083/MocnostVeta2.png)
![\small \triangle MAT, \triangle MTB \small \triangle MAT, \triangle MTB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/85a6574f5ae73588d729c6b64dbf32da.png)
![\small \frac{MA|}{|MT|}=\frac{ |MT|}{|MB|} \small \frac{MA|}{|MT|}=\frac{ |MT|}{|MB|}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0f8d41afea960cfaecbf4bbddcda4601.png)
Pri odvodení vzťahu
![\small m = |MT|^2=v^2 -r^2 \small m = |MT|^2=v^2 -r^2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5dd5b5ba8f58b2d978bad35947c14e63.png)
![\small MST \small MST](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7e08634c03190262731921a7114624f5.png)
Definícia (Chordála a chordický bod).
Majme dve nesústredné kružnice
. Množina všetkých bodov, ktoré majú rovnakú mocnosť k obom kružniciam je priamka kolmá k spojnici stredov týchto kružníc. Nazývame ju chordála.
Majme dve nesústredné kružnice
![\small k_i(S_i,r_i), i=1,2 \small k_i(S_i,r_i), i=1,2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a003df590dcc2e040d33441bf8c47d33.png)
Korektnosť definície a konštrukcia chordály.
- Dané kružnice
sa pretínajú v dvoch bodoch/priesečníkoch. Priamka určená priesečníkmi daných kružníc je spoločná sečnica oboch kružníc. Preto ľubovoľný bod priamky určenej týmito priesečníkmi má rovnakú mocnosť k obom kružniciam. Priamka určená priesečníkmi daných kružníc je chordála daných kružníc.
- Kružnice sa dotýkajú v bode, ktorý má mocnosť
k obom kružniciam. Chordála je spoločná dotyčnica v bode. Dôkaz, že spoločná dotyčnica je množina bodov s rovnakou mocnosťou k obom kružniciam, vyplýva z vety 2.
- V prípade, že kružnice nemajú spoločný bod zvoľme pomocnú kružnicu
, ktorá pretína obe kružnice
. Zostrojme chordály
. Ich priesečník označme
. Tento bod má rovnakú mocnosť ku všetkým trom kružniciam. Nazývame ho chordický bod. Týmto bodom potom vedieme kolmicu k úsečke, čo je chordála kružníc
. Aktivujte si priložený applet.