Interaktívna geometria - planimetria
Geometria trojuholníka
Výška a stredná priečka
Definícia.
Kolmica zostrojená z vrcholu trojuholníka na priamku, na ktorej leží protiľahlá strana trojuholníka, sa nazýva výška trojuholníka.
Kolmica zostrojená z vrcholu trojuholníka na priamku, na ktorej leží protiľahlá strana trojuholníka, sa nazýva výška trojuholníka.
Výšky trojuholníka
budeme označovať
.
![\small ABC \small ABC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1185d08b7f77596d06c72d73d59c3d36.png)
![v_a, v_b, v_c v_a, v_b, v_c](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7fec779c3dbe408d057bd8cfc97d500f.png)
-
Výšky sa pretínajú v jednom bode
.
- Tento bod sa nazýva priesečník výšok alebo ortocentrum, stiahnite si applet Tu
Úloha.
Zostrojte trojuholník, ak je daná výška
, uhol
a uhol
.
Zostrojte trojuholník, ak je daná výška
![v_c v_c](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/70516fbf2ccf576bc07af5872912e5ac.png)
![\small α=BAC \small α=BAC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f690e4a7136cf1a9f37f9a0e0b2d51b8.png)
![\small β=BCA \small β=BCA](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/710c86f10a91b0b8cb0c33b323b804ab.png)
- Urobte rozbor tejto úlohy a porovnajte s návrhom v priloženom applete →.
- V priloženom applete deaktivujte Začiarkavacie políčko a navrhnite postup konštrukcie.
- Urobte symbolický zápis konštrukčných krokov v geometrickom okne 2, pozrite si náš návrh Tu →.
- Preveďte dôkaz správnosti konštrukcie a urobte diskusiu.
Albert Einstein
→ (Obrázok je prevzatý z Wikipédie)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/435131/mod_book/chapter/10822/Einstein.png)
Keď som mal dvanásť rokov, zažil som zázrak iného druhu vďaka knižočke1) o Euklidovej geometrii roviny, ktorá sa mi dostala na začiatku školského roku do rúk.
- Boli to poučky, ako napríklad, že tri výšky v trojuholníku sa pretínajú v jednom bode.
- Hoci to nie je v nijakom prípade evidentné, predsa sa to dalo dokázať s takou istotou, že pochybnosť sa zdala byť vylúčená.
- Táto jasnosť a istota spravili na mňa neopísateľný dojem.
Veta (Ortocentrum trojuholníka).
Výšky v trojuholníku sa pretínajú v jednom bode.
Výšky v trojuholníku sa pretínajú v jednom bode.
Dôkaz, ktorý nadchol Einsteina.
Applet otvoríte Tu.
Vyššie uvedený dôkaz sa opiera o dve základné tvrdenia:
- V rovnobežníku protiľahlé strany majú rovnakú veľkosť. Pozrite si Euclid's Elements, Book I, Proposition 34.
- Priamka prechádzajúca stredom kruhu a stredom tetivy je kolmá na túto tetivu a rozpoľuje túto tetivu. Pozrite si Euclid's Elements, , Book III, Proposition 3. Toto tvrdenie bolo pravdepodobne známe už Thálesovi.
Veta.
Dôsledok.
- Stredná priečka trojuholníka je rovnobežná so stranou trojuholníka.
- Jej veľkosť sa rovná polovici veľkosti strany, s ktorou je rovnobežná.