Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Riešenie.
Zrejme platí
$\sqrt{(x^2+2x-3)^2} =\mid x^2+2x-3 \mid$
po dosadení dostávame rovnicu
$\mid x^2+2x-3 \mid = x^2+2x-3$. 
Kvadratická rovnica $x^2+2x-3 =0$ má reálne korene $x_1=-3, x_2=1$ . Preto budeme riešiť pôvodnú rovnicu samostatne v troch intervaloch
$A= ( -\infty,-3), B= (-3,1),C = (1, \infty )$.
Zistíme, že riešením danej rovnice v intervaloch $A, C$ je ľubovoľné racionálne číslo a v intervale $B$ nemá riešenie. Nakoniec zistíme, že čísla -3 a 1 sú riešením.
Odpoveď. Riešením sú racionálne čísla množiny $M= ( -\infty,-3\rangle \cup \langle 1, \infty )$.
 
Grafické riešenie - GeoGebra, otvor applet Tu 

Riešenie.

1. Nech
   $xx$,
   potom

Tým je dôkaz ukončený.

Riešenie.
Výška rovnostranného trojuholníka $ABC$ je rovná $v=\frac{\sqrt{3}}{2} a$
Veľkosť strany štvorca s určíme využitím podobnosti trojuholníkov $AK_1N_1 \sim AC_0C$:^[1]
$| K_1N_1| = \frac{\sqrt{3}} {2+\sqrt{3}} a=(-3+2 \sqrt{3}) a$.
Pokračujeme určením veľkosti strán ďalších vpísaných štvorcov $K_iL_iM_iN_i (i \geq 2)$ . Potom určíme pomer týchto strán.

Dokážte, že v dvoch po sebe idúcich štvorcoch je pomer strán konštatný.
Tento pomer je koeficient geometrického radu, v ktorom pre prvý člen patí $a_1=(K_1L_1)^2=(-3+2 \sqrt{3})^2=21-12\sqrt{3}$.
Výsledok je ...

Riešenie.
$10a=2,\overline{17} , 1000 \cdot a=217, \overline{17} \\ 1000a-10a=215 \Rightarrow 990a = 215$ odkiaľ
$a= \frac{198}{43}$