Zavedenie číselných oborov N, Z, Q
Racionálne čísla
Riešenie - úloha 6 až 10
Riešenie.
Zrejme platí
po dosadení dostávame rovnicu
.
Kvadratická rovnica
má reálne korene
. Preto budeme riešiť pôvodnú rovnicu samostatne v troch intervaloch
.
Zistíme, že riešením danej rovnice v intervaloch
je ľubovoľné racionálne číslo a v intervale
nemá riešenie. Nakoniec zistíme, že čísla -3 a 1 sú riešením.
Odpoveď. Riešením sú racionálne čísla množiny
.
Grafické riešenie - GeoGebra, otvor applet Tu
Zrejme platí
![\sqrt{(x^2+2x-3)^2} =\mid x^2+2x-3 \mid \sqrt{(x^2+2x-3)^2} =\mid x^2+2x-3 \mid](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1bf123b2ba16f6ace1e499a6fe401682.png)
po dosadení dostávame rovnicu
![\mid x^2+2x-3 \mid = x^2+2x-3 \mid x^2+2x-3 \mid = x^2+2x-3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3c4f5b282332336b132e053ccf92bf40.png)
Kvadratická rovnica
![x^2+2x-3 =0 x^2+2x-3 =0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7b2cd8d36ed2cee41327d0fa0c626fcf.png)
![x_1=-3, x_2=1 x_1=-3, x_2=1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1602d22bf635a2fcc9f6dd235c0aedbd.png)
![A= ( -\infty,-3), B= (-3,1),C = (1, \infty ) A= ( -\infty,-3), B= (-3,1),C = (1, \infty )](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/847cd5b3c2b99fc9785323ca72435410.png)
Zistíme, že riešením danej rovnice v intervaloch
![A, C A, C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/de37471c8eed62f74c376e4a917443a9.png)
![B B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/75579333834c5822faf4dba7a1dae0a3.png)
Odpoveď. Riešením sú racionálne čísla množiny
![M= ( -\infty,-3\rangle \cup \langle 1, \infty ) M= ( -\infty,-3\rangle \cup \langle 1, \infty )](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2b3da042dcf9f63784a268f55ef2576b.png)
Grafické riešenie - GeoGebra, otvor applet Tu
U8: Do rovnostranného trojuholníka
so stranou dĺžky a je vpísaný štvorec
tak, že strana
leží na úsečke
. Úsečka
je potom stranou ďalšieho rovnostranného trojuholníka, ktorému je opäť ... Vypočítajte súčet obsahov všetkých takto vzniknutých štvorcov.
![ABC ABC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c5128f579b83322a464b5b5065364dd8.png)
![KLMN KLMN](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6e85fc842a249ae0b62da6498b3259a3.png)
![KL KL](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ba862296e88c8589d2d4ea3679d56d83.png)
![AB AB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/adfda2c63a6b4f70f610eb963324646d.png)
![KL KL](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ba862296e88c8589d2d4ea3679d56d83.png)
Riešenie.
Výška rovnostranného trojuholníka
je rovná
Veľkosť strany štvorca s určíme využitím podobnosti trojuholníkov
:[1]
.
Pokračujeme určením veľkosti strán ďalších vpísaných štvorcov
. Potom určíme pomer týchto strán.
Dokážte, že v dvoch po sebe idúcich štvorcoch je pomer strán konštatný.
Tento pomer je koeficient geometrického radu, v ktorom pre prvý člen patí
.
Výsledok je ...
Výška rovnostranného trojuholníka
![ABC ABC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c5128f579b83322a464b5b5065364dd8.png)
![v=\frac{\sqrt{3}}{2} a v=\frac{\sqrt{3}}{2} a](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/98e2f2a25de145207189cd78e0f0e7c7.png)
Veľkosť strany štvorca s určíme využitím podobnosti trojuholníkov
![AK_1N_1 \sim AC_0C AK_1N_1 \sim AC_0C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ac151a1385b2809986c07e54b4492795.png)
![| K_1N_1| = \frac{\sqrt{3}} {2+\sqrt{3}} a=(-3+2 \sqrt{3}) a | K_1N_1| = \frac{\sqrt{3}} {2+\sqrt{3}} a=(-3+2 \sqrt{3}) a](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9cf31cc97a37ef1fc60f2579a8933b74.png)
Pokračujeme určením veľkosti strán ďalších vpísaných štvorcov
![K_iL_iM_iN_i (i \geq 2) K_iL_iM_iN_i (i \geq 2)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/121a74ebef022953a07fbb911149b9a9.png)
Dokážte, že v dvoch po sebe idúcich štvorcoch je pomer strán konštatný.
Tento pomer je koeficient geometrického radu, v ktorom pre prvý člen patí
![a_1=(K_1L_1)^2=(-3+2 \sqrt{3})^2=21-12\sqrt{3} a_1=(K_1L_1)^2=(-3+2 \sqrt{3})^2=21-12\sqrt{3}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/23f7f24c87e12984c0aa89024696479c.png)
Výsledok je ...
Pozrite si riešenie od profesora Bukovského[2] Tu.
[1] Bača, M. a kol.: Zbierka riešených a neriešených úloh z matematiky. TU v Košiciach, 2011. Dostupné Tu
[2] Bukovský, L.: Úvod do matematiky. UPJŠ Košice. 2001. Dostupné Tu