Zavedenie číselných oborov N, Z, Q
Racionálne čísla
Riešenie - úloha 1 až 5
U2 a U3
-
Ukážte, že pre ľubovoľné racionálne číslo
rôzne od nuly existuje racionálne číslo
, pre ktoré platí
.
- ukážte, že racionálne číslo
reprezentuje trieda rozkladu
, ak racionálne číslo
reprezentuje trieda
,
- dokážte, že pre ľubovoľné racionálne čísla
platí:
.
-
Ukážte, že pre ľubovoľné racionálne číslo
rôzne od nuly existuje racionálne číslo
, pre ktoré platí
.
U2 a U3: Riešenie.
- Pre racionálne číslo
rôzne od nuly
platí
. Označme
a počítajme
- Nech
sú racionálne čísla, potom pre súčet racionálnych čísel
dostaneme
operácie sčítania a násobenia v oborochsú komutatívne, asociatívne a disributívne, preto
- Zrejme existuje racionálne číslo
, ktoré spĺňa podmienku
. Počítajme
.
Pozrite si model násobenia zlomkov Tu
Riešenie.
Nech
,
potom existujú prirodzené čísla
a zároveň platí
.
Po úprave dostaneme
.
Na ľavej strane je párne číslo a na pravej nepárne, čo nie je možné. Tým je dôkaz ukončený.
Nech
![\frac{1}{2} \in Z \frac{1}{2} \in Z](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2e5215f810c1525e926c272eb7e173ed.png)
potom existujú prirodzené čísla
![m,n m,n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8a95c03f62724bc8ec933dcf0ce3905d.png)
![m-n= \frac{1}{2} m-n= \frac{1}{2}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e052ace4dfe98c187e35606e727902b7.png)
Po úprave dostaneme
![2(m-n)= 1 2(m-n)= 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7c8dd4d9dae9189d29853b7956ed73c7.png)
Na ľavej strane je párne číslo a na pravej nepárne, čo nie je možné. Tým je dôkaz ukončený.
U5: Pomocou tried rozkladu dokážte, že pre ľubovoľné racionálne čísla
platí komutatívny a asociatívny zákon pre sčítanie.
![a,b,c \in Q a,b,c \in Q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d0d66e987c907294f843f54a1825a13f.png)
Riešenie.
- Dokážeme platnosť komutatívneho zákona. Z definície súčtu dvoch tried
v tomto poradí dostávame
a pre súčet v opačnom poradí dostávame
Keďže komutatívny zákon platí pre súčet aj súčin v obore celých čísel, tak zrejme platí aj rovnosť
.
Odkiaľ vyplýva, že pravá strana vo vzťahuje rovná pravej strane vo vzťahu
. Preto platí komutatívny zákon pre sčítanie.
- Dokážeme platnosť asociatívneho zákona. Nech triedy
reprezentujú tri racionálne čísla, potom z definície súčtu dostávame
Analogickými úvahami ako v prípadeukážeme, že
Odkiaľ vyplýva, že pravá strana vo vzťahuje rovná pravej strane vo vzťahu
. Preto platí asociatívny zákon.
Tým je dôkaz ukončený.
- Podobne môžeme postupovať pri dôkaze komutatívnosti a asociatívnosti násobenia racionálnych čísel (DÚ).