Racionálne čísla

Riešenie - úloha 1 až 5

U1: Riešenie
  1. T_{(1,2)} \oplus T_{(4,3)}=T_{(1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 ,2 \cdot 4 )}=T_{(11,8)}= \frac{11}{8} , 
  2. T_{(-2,3)} \oplus T_{(0,1)}= ... , 
  3. T_{(2,3)} \otimes T_{(1,4)}= ... , 
  4. T_{(-2,5)} \otimes T_{(3,4)}= ... 
U2 a U3
  1. Ukážte, že pre ľubovoľné racionálne číslo r \in Q rôzne od nuly existuje racionálne číslo -r \in Q , pre ktoré platí r \oplus (-r) =0 .
    • ukážte, že racionálne číslo (-r) \in Q reprezentuje trieda rozkladu T_{(-p,q)} , ak racionálne číslo r reprezentuje trieda T_{(p,q)} ,
    • dokážte, že pre ľubovoľné racionálne čísla a,b \in Q platí: (-a) + (-b) =-(a + b) .
  2. Ukážte, že pre ľubovoľné racionálne číslo r \in Q rôzne od nuly existuje racionálne číslo r^{-1} \in Q , pre ktoré platí r \times r^{-1} =1 .
    • ukážte, že racionálne číslo r^{-1} \in Q reprezentuje trieda rozkladu T_{(q,p)} , ak racionálne číslo r reprezentuje trieda T_{(p,q)} ,
    • dokážte, že pre ľubovoľné racionálne čísla a,b \in Q platí: a\times (-b) =-(a \times b) .
U2 a U3: Riešenie.
  1. Pre racionálne číslo r=T_{(p,q)} rôzne od nuly p \neq 0 ,q \neq 0 platí T_{(-p,q)} \in Q . Označme -r= T_{(-p,q)} a počítajme
    r \oplus (-r) = T_{(p,q)} \oplus T_{(-p,q)} \overset{def}{=} T_{(p+(-p),q)}=T_{(0,q)}=0
    • Nech a=T_{(r,s)}, b=T_{(u,v)} sú racionálne čísla, potom pre súčet racionálnych čísel -a=T_{(-r,s)},-b=T_{(-u,v)} dostaneme
      (-a) \oplus (-b)=T_{(-r,s)} \oplus T_{(-u,v)} \overset{def}{=} T_{((-r) \cdot v +(-u) \cdot s, s \cdot v)}
      operácie sčítania a násobenia v oboroch N, Z sú komutatívne, asociatívne a disributívne, preto
      T_{((-r) \cdot v +(-u) \cdot s, s \cdot v)} = T_{(-(r \cdot v + u \cdot s), s \cdot v )}= -(a \oplus b)
    Pozri model sčitovania zlomkov Tu
  2. Zrejme existuje racionálne číslo r^{-1} = T_{(q,p)} , ktoré spĺňa podmienku r \times r^{-1} =1 . Počítajme
    r \times r^{-1} = T_{(p,q)} \times T_{(q,p)} \overset{def}{=} T_{(p.q,q.p)}=T_{(1,1)}=1 .
    • Nech a=T_{(r,s)}, b=T_{(u,v)} sú racionálne čísla, potom pre súčin racionálnych čísel a=T_{(r,s)},-b=T_{(-u,v)} dostaneme
      (a) \times (-b)=T_{(r,s)} \times T_{(-u,v)} \overset{def}{=} T_{(-(r.u), s. v)} = -(a \times b) .
    Pozrite si model násobenia zlomkov Tu
U4: Dokážte, že \frac{1}{2} nie je celé číslo.
Riešenie.
Nech
\frac{1}{2} \in Z ,
potom existujú prirodzené čísla
m,n a zároveň platí m-n= \frac{1}{2}. 
Po úprave dostaneme
2(m-n)= 1. 
Na ľavej strane je párne číslo a na pravej nepárne, čo nie je možné. Tým je dôkaz ukončený.
U5: Pomocou tried rozkladu dokážte, že pre ľubovoľné racionálne čísla a,b,c \in Q platí komutatívny a asociatívny zákon pre sčítanie.
Riešenie.
  1. Dokážeme platnosť komutatívneho zákona. Z definície súčtu dvoch tried T_{(a,b)}, T_{(c,d)} v tomto poradí dostávame
    a) T_{(a,b)} \oplus T_{(c,d)}=T_{(a \cdot d+b \cdot c ,b \cdot d) }
    a pre súčet v opačnom poradí dostávame
    b) T_{(c,d)} \oplus T_{(a,b)}=T_{(c \cdot b+a \cdot d ,d \cdot b ) }
    Keďže komutatívny zákon platí pre súčet aj súčin v obore celých čísel, tak zrejme platí aj rovnosť
    (a \cdot d+b \cdot c ,b \cdot d)=(c \cdot b+a \cdot d ,d \cdot b ) .
    Odkiaľ vyplýva, že pravá strana vo vzťahu 1a) je rovná pravej strane vo vzťahu 1b) . Preto platí komutatívny zákon pre sčítanie. 
  2. Dokážeme platnosť asociatívneho zákona. Nech triedy T_{(a,b)}, T_{(c,d)}, T_{(e,f)} reprezentujú tri racionálne čísla, potom z definície súčtu dostávame
    a) T_{(a,b)} \oplus (T_{(c,d)} \oplus T_{(e,f)}) =T_{(a,b)} \oplus (T_{(c \cdot f+e \cdot d ,d \cdot f) })=T_{(a \cdot d \cdot f+c \cdot b \cdot f+e \cdot b \cdot d , b \cdot d \cdot f) }
    Analogickými úvahami ako v prípade 1b) ukážeme, že
    b) (T_{(a,b)} \oplus T_{(c,d)}) \oplus T_{(e,f)} =T_{(a \cdot d \cdot f+c \cdot b \cdot f+e \cdot b \cdot d , b \cdot d \cdot f) }
    Odkiaľ vyplýva, že pravá strana vo vzťahu 2a) je rovná pravej strane vo vzťahu 2b) . Preto platí asociatívny zákon.
    3. Tým je dôkaz ukončený.
  3. Podobne môžeme postupovať pri dôkaze komutatívnosti a asociatívnosti násobenia racionálnych čísel (DÚ).
\( .\)