Obor komplexných čísel

Geometrická interpretácia

Geometrická interpretácia - Gaussova komplexná rovina
Existuje bijektívne zobrazenie f („prosté“ a „na“) množiny všetkých komplexných čísel C na euklidovskú rovinu Ε_2 :
       f:C \rightarrow E_2; z=(a,b) \rightarrow Z(a,b) ,
kde Z(a,b) je bod Z \in E_2 so súradnicami (a,b) .
Ak v rovine zvolíme pravouhlý súradnicový systém, tak obrazom každého komplexného čísla bude práve jeden bod roviny. Obrazom komplexného čísla z=(a,b) resp. z=a+ib je bod Z so súradnicami (a,b) . Pozri obrázok.

                        
Zrejme platia rovnosti: sin \ \varphi = \frac{b}{r} , cos \ \varphi = \frac{a}{r} , kde r= \sqrt{a^2+b^2} a \varphi je orientovaný uhol ∢XOZ .
Číslo r predstavuje veľkosť vektora \vec{OZ} a nazýva sa absolútna hodnota komplexného čísla a označuje sa symbolom \mid z \mid : platí \mid z \mid = \sqrt{a^2+b^2} .
Z rovností sin\ \varphi = \frac{b}{r}, cos \ \varphi = \frac{a}{r} môžeme vyjadriť reálnu aj imaginárnu zložku komplexného čísla z=(a,b) . Dostaneme a=r.cos \ \varphi, b=r.sin \ \varphi . Vypočítané hodnoty teraz môžeme dosadiť do algebraického tvaru komplexného čísla a+ib . Dostaneme nový zápis resp. nový tvar komplexného čísla
Definícia
Zápis komplexného čísla v tvare z=\mid z \mid(cos \ \varphi+ i.sin \ \varphi ) sa nazýva goniometrický tvar komplexného čísla.
Nájdite goniometrický zápis komplexného čísla z= \sqrt{3} -i .
Riešenie
Najskôr si vypočítame absolútnu hodnotu hľadaného komplexného čísla. Vypočítame, že \mid z \mid= \sqrt{3}^2+(-1)^2=2 .
Potom určíme veľkosť uhla \varphi , pre ktorý platí cos \ \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2} a sin \ \varphi = \frac{1}{2} . Uhol, pre ktorý platia tieto dve rovnosti sa nachádza v IV. kvadrante a jeho veľkosť je 330^ \circ = \frac{11 \pi }{6} .
Goniometrický tvar komplexného čísla je z=2(cos \ \frac{5\pi}{6}+ i.sin \ \frac{5\pi}{6} ) .
\( .\)