Reálne a komplexné čísla
Reálne a komplexné čísla
Obor komplexných čísel
Geometrická interpretácia
Geometrická interpretácia - Gaussova komplexná rovina
Existuje bijektívne zobrazenie
(„prosté“ a „na“) množiny všetkých komplexných čísel
na euklidovskú rovinu
:
,
kde
je bod
so súradnicami
.
Ak v rovine zvolíme pravouhlý súradnicový systém, tak obrazom každého komplexného čísla bude práve jeden bod roviny. Obrazom komplexného čísla
resp.
je bod
so súradnicami
. Pozri obrázok.
![f f](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ce40937fdfbd06b8a15244e102a09356.png)
![C C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/699e902f5598ca623370f833cffb1a57.png)
![Ε_2 Ε_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5e70181582e6869ff9f4fe1ff7382de3.png)
![f:C \rightarrow E_2; z=(a,b) \rightarrow Z(a,b) f:C \rightarrow E_2; z=(a,b) \rightarrow Z(a,b)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/30edaac4bf93086f3402dcda0f2fca09.png)
kde
![Z(a,b) Z(a,b)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5dd479a28ef6f42d537618b26b06ded5.png)
![Z \in E_2 Z \in E_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d5cc495ade0bc487e18a234732fcd88e.png)
![(a,b) (a,b)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/cdf6328be9cc6c9873b8d6a4b6018e91.png)
Ak v rovine zvolíme pravouhlý súradnicový systém, tak obrazom každého komplexného čísla bude práve jeden bod roviny. Obrazom komplexného čísla
![z=(a,b) z=(a,b)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/04d7c0931ecc39fb1c6d42971f4ee185.png)
![z=a+ib z=a+ib](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/caa088e40e1257d46bb9d1c89aa08c80.png)
![Z Z](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/136e7596defa3afe882e06588efceef2.png)
![(a,b) (a,b)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/cdf6328be9cc6c9873b8d6a4b6018e91.png)
Zrejme platia rovnosti:
,
, kde
a
je orientovaný uhol
.
Číslo
predstavuje veľkosť vektora
a nazýva sa
absolútna hodnota komplexného čísla a označuje sa symbolom
: platí
.
Z rovností
môžeme vyjadriť reálnu aj imaginárnu zložku komplexného čísla
. Dostaneme
. Vypočítané hodnoty teraz môžeme dosadiť do algebraického tvaru komplexného čísla
. Dostaneme nový zápis resp. nový tvar komplexného čísla
![sin \ \varphi = \frac{b}{r} sin \ \varphi = \frac{b}{r}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7f0ccb7c8b79e6f1ee758cbf313bc713.png)
![cos \ \varphi = \frac{a}{r} cos \ \varphi = \frac{a}{r}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e13ea18e778cb1c5c8b903a67cc0c110.png)
![r= \sqrt{a^2+b^2} r= \sqrt{a^2+b^2}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9c696ef56625ce3bb21b33f52d14cd82.png)
![\varphi \varphi](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6d1102fcd20cb8d1367a42df048a5025.png)
![∢XOZ ∢XOZ](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ad017825492a8b0c30300c54a6b5308e.png)
Číslo
![r r](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1af9dcecc465950e25f7153943970180.png)
![\vec{OZ} \vec{OZ}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/dddbb383a879a32b17a946c46ab3d2be.png)
![\mid z \mid \mid z \mid](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/83d5c36721835b9252fb39562730fc1c.png)
![\mid z \mid = \sqrt{a^2+b^2} \mid z \mid = \sqrt{a^2+b^2}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3a7ccbbbb7ed3ec7c88ad01796ef91df.png)
Z rovností
![sin\ \varphi = \frac{b}{r}, cos \ \varphi = \frac{a}{r} sin\ \varphi = \frac{b}{r}, cos \ \varphi = \frac{a}{r}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d7e8ef8a7fe637554960c50333317f8e.png)
![z=(a,b) z=(a,b)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/dddc834692610019090a111baa8fbbd2.png)
![a=r.cos \ \varphi, b=r.sin \ \varphi a=r.cos \ \varphi, b=r.sin \ \varphi](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/da27af73c0fb82bbffef04e5612476e4.png)
![a+ib a+ib](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/de8796a27b1a82013857216bd70329f9.png)
Nájdite goniometrický zápis komplexného čísla
.
Riešenie
Najskôr si vypočítame absolútnu hodnotu hľadaného komplexného čísla. Vypočítame, že
.
Potom určíme veľkosť uhla
, pre ktorý platí
a
. Uhol, pre ktorý platia tieto dve rovnosti sa nachádza v IV. kvadrante a jeho veľkosť je
.
Goniometrický tvar komplexného čísla je
.
![z= \sqrt{3} -i z= \sqrt{3} -i](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/700d34ce0436b0f8d4973be690b264ad.png)
Riešenie
Najskôr si vypočítame absolútnu hodnotu hľadaného komplexného čísla. Vypočítame, že
![\mid z \mid= \sqrt{3}^2+(-1)^2=2 \mid z \mid= \sqrt{3}^2+(-1)^2=2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7fc145a5b8b0620b9c8e9e7d032684c5.png)
Potom určíme veľkosť uhla
![\varphi \varphi](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3538eb9c84efdcbd130c4c953781cfdb.png)
![cos \ \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2} cos \ \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/09fa0182754a252156e9ffe5738a264b.png)
![sin \ \varphi = \frac{1}{2} sin \ \varphi = \frac{1}{2}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ffc021aded77925c4949926a0d5f1ee4.png)
![330^ \circ = \frac{11 \pi }{6} 330^ \circ = \frac{11 \pi }{6}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/51afb9178e7708428e1289ca4491e724.png)
Goniometrický tvar komplexného čísla je
![z=2(cos \ \frac{5\pi}{6}+ i.sin \ \frac{5\pi}{6} ) z=2(cos \ \frac{5\pi}{6}+ i.sin \ \frac{5\pi}{6} )](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c3f29bd9126835f585fa327be6b22ebe.png)