Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Nech platí $i^2=-1$, potom môžeme zaviesť mocninu súčinu $(2 \cdot i)^2=(2 \cdot i) \cdot (2 \cdot i)=4 \cdot i^2=-4$. Vo všeobecnosti pre ľubovoľné reálne číslo $k$ definujeme $(k \cdot i )^2=-k^2$. Čísla $i,2i,...,ki,...$  nie sú reálne, sú „imaginárne“. S výhodou môžeme použiť symboliku usporiadaných dvojíc.

1. Reálne číslo $r \in R$ zapíšme ako usporiadanú dvojicu $(r,0)$.
2. „Imaginárne“ číslo $k \cdot i$ zapíšme ako usporiadanú dvojicu $(0,k )$.
3. Súčet dvojíc definujeme takto: $(x,y) \oplus (u,v)=((x+u), \ (y+v) )$.
4. Súčin dvojíc definujeme pomocou vzťahu $(x,y) \otimes (u,v)=((xu-yv),\ (xv+yu))$.

Poznámky.

1. Nech $z=(a,b)$ je komplexné číslo, potom reálne číslo $a$ sa nazýva reálna časť komplexného čísla $z$. Reálne číslo $b$ sa nazýva imaginárna časť. Dve komplexné čísla $(a,b), (c,d)$ sa rovnajú, ak platí $(a=c) \wedge (b=d)$. 
2. Pre komplexné čísla $z_1=(a,b), z_2=(c,d)$ definujeme operácie sčítanie a násobenie pomocou operácií na množine usporiadaných dvojíc reálnych čísel.