Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Pomocou matematickej indukcie dokážte, že pre všetky prirodzené čísla $n \geq1$ platí:

1. $1 + 3 + 5 + ... + (2n-1)=n^2$
2. $1^2 + 2^2 + ... + n^2= \frac{1}{6} n (n + 1) (2n + 1)$
3. $n^3-10n$ je násobkom čísla 3.

Riešenie A

1. Nech $n=1$, potom ľavá strana je rovná 1 a pravá $1^2=1$.
2. Predpokladajme, že rovnosť $1 + 3 + 5 + ... + (2k-1)=k^2$ platí pre $\forall k < n$. 
3. Ukážeme, že platí aj pre  $(k+1) \in N$:
• Počítajme  $1 + 3 + 5 + ... + (2k-1)+ (2k+1)=k^2+(2k+1)=(k+1)^2$
4. Podľa axiómy o matematickej indukcii dostávame, že rovnosť $1 + 3 + 5 + ... + (2n-1)=n^2$ platí pre všetky prirodzené čísla.
   

Riešenie B

1. Nech $n=1$, potom ľavá strana je rovná 1 a pravá $\frac{1}{4} 1^2 .2^2=1$.
2. Predpokladajme, že rovnosť $1^2 + 2^2 + ... + k^2= \frac{1}{6} k (k + 1) (2k + 1)$ platí pre $\forall k < n$.
3. Ukážeme, že platí aj pre  $(k+1) \in N$:
• Počítajme $1^2 + 2^2 + ... + k^2+(k+1)^2= \frac{1}{6} k (k + 1) (2k + 1)+(k+1)^2=$
• odkiaľ postupne dostávame $\frac{1}{6} (k + 1) [ k (2k + 1)+ 6 (k + 1) ] = \frac{1}{6}(k + 1) [ (k + 2) (2k + 3)$
4. Teda platí rovnosť $1^2 + 2^2 + ... + n^2= \frac{1}{6} n (n + 1) (2n + 1)$ platí pre všetky prirodzené čísla.