Konštrukcia číselných oborov - prirodzené čísla
Vlastnosti operácií
Asociatívnosť
Dôkaz.
Budeme dokazovať matematickou indukciou vzhľadom na
.
Budeme dokazovať matematickou indukciou vzhľadom na
![c \in N c \in N](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/67cdbd555c2a06f30422b7b0ec378cf8.png)
- Pre
musíme ukázať, že platí rovnosť
Pre ľavú stranu po úprave dostaneme
-
Predpokladajme, že rovnosť
platí pre prirodzené číslo
.
Ukážeme, že platí aj pre
- Podľa indukčného predpokladu a axiómy III sa bude ľavá strana rovnať pravej strane
- Tým je dôkaz ukončený.
![a+(b+1)\overset{def}{=} a+b' \overset{Axiom5}{=} (a+b)' a+(b+1)\overset{def}{=} a+b' \overset{Axiom5}{=} (a+b)'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/016640af706a471117295c47be519a0b.png)
Pre pravú stranu z definície následníka dostaneme
![(a+b)+1 \overset{def}{=} (a+b)' (a+b)+1 \overset{def}{=} (a+b)'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ed12a9ec1d19c09b5fa16cd8693326e8.png)
![c+1 c+1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0058a676e8fba16abec1c2f759adc669.png)
![a+(b+(c+1))=(a+b)+(c+1) a+(b+(c+1))=(a+b)+(c+1)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7f53cee62ee7204219061b6fa8c343d4.png)
Pre pravú stranu po úprave dostaneme
![(a+b)+c' \overset{Ax5}{=} ((a+b)+c)' (a+b)+c' \overset{Ax5}{=} ((a+b)+c)'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/449380095720fcc13303c511daa2c708.png)
pre ľavú stranu dostaneme
![a+(b+c') \overset{Ax5}{=} a+(b+c)' \overset{Ax5}{=} (a+(b+c))' a+(b+c') \overset{Ax5}{=} a+(b+c)' \overset{Ax5}{=} (a+(b+c))'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a0636db74fd71fdad47b3c844a5bd50e.png)
Dôkaz.
Budeme dokazovať matematickou indukciou vzhľadom na
Budeme dokazovať matematickou indukciou vzhľadom na
![m \in N m \in N](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/cd0ba3bf6cfa1bfe367c9dfdefe64fec.png)
- Pre
zrejme platí rovnosť
lebo
Pre ľavú stranu po úprave dostaneme
Využitím komutatívnosti (Veta 3) pre ľubovoľné prirodzené čísloa asociatívnosti (Veta 5)
dostaneme
-
Predpokladajme (i.p.), že rovnosť
platí pre prirodzené číslo
.
Ukážeme, že platí aj pre, , čo je ekvivalentné s rovnosťou
.
Pre pravú stranu po úprave dostaneme
- To znamená, že pravá strana sa rovná ľavej. Tým je dôkaz ukončený.
Poznámky.
1) Distributívnosť násobenia zľava k sčítaniu ľahko dokážeme pomocou matematickej indukcie priamo zo VII. axiómy.
2) O distributívnosti násobenia sprava k sčítaniu hovorí nasledujúca veta.
1) Distributívnosť násobenia zľava k sčítaniu ľahko dokážeme pomocou matematickej indukcie priamo zo VII. axiómy.
2) O distributívnosti násobenia sprava k sčítaniu hovorí nasledujúca veta.