Trojuholník - cvičenia
Trojuholník ABC
Dve vety o trojuholníku
Za základné vety (vlastnosti) trojuholníka považujeme nasledujúce dve vety:
- vetu o súčte vnútorných uhlov v trojuholníku
- trojuholníkovú nerovnosť
Tieto vety sa opierajú o tvrdenia súvisiace s uhlami pri základni rovnoramenného trojuholníka (Euklides Základy T/V), tvrdením o vonkajšom uhle trojuholníka(Základy T/XIII), tvrdením, že oproti väčšiemu uhlu trojuholníka leží väčšia strana (Základy T/XIX) a tvrdením T/XXIX.
Veta (Súčet vnútorných uhlov)
Súčet veľkostí všetkých vnútorných uhlov v trojuholníku je rovný 180°.
Súčet veľkostí všetkých vnútorných uhlov v trojuholníku je rovný 180°.
Poznámka.
Euklides pri dôkaze tohto tvrdenia využíva tvrdenia
Euklides pri dôkaze tohto tvrdenia využíva tvrdenia
- T/XXIX - "Priamka pretínajúca rovnobežky vytvára striedavé zhodné uhly a vonkajší uhol sa rovná opačnému vnútornému uhlu a súčet vnútorných uhlov na tej istej strane sa rovná dvom pravým uhlom."
- T/XXXI - "Daným bodom je možné zostrojiť priamku rovnobežnú s danou priamkou"
Interpretácia tvrdenia.
Presuňte vrcholy tak, aby sa všetky vrcholy prekrývali. V nasledujúcom applete aktivujte posuvník.
Euklidov dôkaz
applet
Presuňte vrcholy tak, aby sa všetky vrcholy prekrývali. V nasledujúcom applete aktivujte posuvník.
Euklidov dôkaz
applet
Tvrdenie (Trojuholníková nerovnosť, Euklidove Základy: Kniha prvá, Tvrdenie XX)
V každom trojuholníku ktorékoľvek dve strany (súčtom) sú dlhšie než ostávajúca tretia strana.
V každom trojuholníku ktorékoľvek dve strany (súčtom) sú dlhšie než ostávajúca tretia strana.
Dôkaz:
Nech je daný trojuholník . Na predĺžení strany za bodom zvoľme bod tak, aby (Post. 2.)
Trojuholník je rovnoramenný, odkiaľ dostávame: (Tvrdenie V)
Teda . Keďže v trojuholníku oproti väčšiemu uhlu leží dlhšia strana, platí (Tvrdenie XIX)
Tu otvoriť →
Zhrňme naše výsledky: Konštrukčný dôkaz - GeoGebra →
Nech je daný trojuholník . Na predĺžení strany za bodom zvoľme bod tak, aby (Post. 2.)
Trojuholník je rovnoramenný, odkiaľ dostávame: (Tvrdenie V)
Teda . Keďže v trojuholníku oproti väčšiemu uhlu leží dlhšia strana, platí (Tvrdenie XIX)
Tu otvoriť →
Zhrňme naše výsledky: Konštrukčný dôkaz - GeoGebra →