GeoGebra a lineárne rovnice

Portál:	Virtuálna Univerzita Mateja Bela
Kurz:	Didaktika matematiky
Kniha:	GeoGebra a lineárne rovnice

Vytlačil(a):	Hosťovský používateľ
Dátum:	štvrtok, 4 júna 2026, 04:02

Opis

GeoGebra

Obsah

Sústava lineárnych rovníc
- Motivačný úvod
- Modely reálneho sveta
Sústava lineárnych rovníc
- Riešený príklad
- Viac rovníc
🟩 Samostatná práca

Sústava lineárnych rovníc

Téma: Riešenie sústavy lineárnych rovníc v školskej matematike
Predmet: Didaktika matematiky
Cieľová skupina: Študenti učiteľstva matematiky (Mgr.)
Digitálne nástroje: GeoGebra, CAS, WolframAlpha, LMS Moodle, AI

$$\small .$ $

Motivačný úvod

Kontext témy
- Pojem sústava lineárnych rovníc patrí medzi ústredné témy školského algebraického učiva a zároveň predstavuje prirodzené prepojenie algebraického a geometrického myslenia. Vzťah medzi číselným riešením a geometrickou polohou grafu, vytvára priestor na rozvoj viacerých reprezentácií matematického poznatku.
- Historicky sa riešenie sústav lineárnych rovníc objavuje už v egyptskom Rhindovom papyruse (okolo 1650 pred n. l.) a v čínskej „Knihe deviatich kapitol“ (Jiǔ zhāng suàn shù), kde sú sústavy zapisované v tabuľkovom (dnes maticovom) tvare. Tieto pramene ukazujú, že ide o problém s hlbokými koreňmi — hľadanie rovnováhy medzi viacerými neznámymi veličinami. Pozrite si ukážky (Vymazalová - str. 33, Solution - odkaz nižšie pod obrázkom) riešenia úlohy R24 z Rhindovho papyrusu. Iné úlohy si prezrite v PDF dokumente Tu alebo Tu.
  
  Outline Mathematics Word Problems Tu. Originál Rhindov matematický papyrus, the British Museum Tu.
Motivačné situácie
Tému možno uvádzať prostredníctvom reálnych situácií, ktoré vyjadrujú rovnováhu alebo vzájomnú závislosť veličín, napríklad:
- určenie cien dvoch produktov z dvoch celkových súm (klasická „pokladničná úloha“:
  - 2 jablká a 3 hrušky stoja spolu 17 €
  - 4 jablká a 1 hruška stoja spolu 15 €
- priesečník dvoch lineárnych závislostí (napr. dopyt a ponuka, dráha dvoch pohybujúcich sa objektov),
- delenie množstva podľa daných pomerov.
Takéto situácie prirodzene vedú k formulácii dvoch alebo viacerých lineárnych rovníc s dvoma neznámymi.
Digitálna motivácia – GeoGebra
GeoGebra umožňuje vizualizovať riešenie sústavy ako priesečník dvoch priamok. Študenti môžu:
- zadať priamky $ax+by=p; \quad cx+dy=q$ ,
- meniť parametre zadaním nových koeficientov matice (vľavo hore v applete),
- sledovať, ako sa mení poloha priesečníka = riešenie sústavy.
Applet je dostupný Tu.
Táto dynamická vizualizácia podporuje chápanie, že:
- ak sa priamky pretínajú, tak existuje práve jedno riešenie,
- ak sú rovnobežné, tak neexistuje žiadne riešenie,
- ak sa prekryjú, tak existuje nekonečne veľa riešení.
Následne sa môže prejsť k algebraickému riešeniu pomocou CAS alebo maticovej formy.

🟪 Didaktická reflexia motivačného úvodu

„Reflexia pre učiteľa.

Úvodná fáza práce so sústavou lineárnych rovníc by mala viesť študentov/žiakov k objaveniu potreby dvoch rovníc pri opise jednej situácie. Každá z rovníc predstavuje jeden aspekt problému – napríklad „celkový počet“ a „rozdiel“, „suma síl“ a „rovnováha momentov“, „celkové výdavky“ a „cenový rozdiel“.
Spoločné riešenie potom získava konkrétny význam: ide o bod rovnováhy – stav, ktorý vyhovuje obom podmienkam súčasne.
Vizualizácia pomocou GeoGebry tento význam výrazne podporuje a umožňuje didakticky prirodzený prechod od skúmania javov k symbolickému vyjadreniu a algoritmickému riešeniu.

$$\small .$ $

Modely reálneho sveta

Reálne situácie.

Pojem rovnosti sa objavuje nielen v matematike, ale aj v prírodných a spoločenských vedách (napr. "rovnováha síl").
Fyzikálny model rovnováhy síl (páka) alebo ekonomický model rozdelenia nákladov poskytujú prirodzené situácie, ktoré možno opísať dvojicou rovníc s dvoma neznámymi.
Riešením takejto sústavy je stav, v ktorom sú splnené obe podmienky — matematicky ide o priesečník dvoch grafov, fyzikálne o rovnováhu síl, ekonomicky o spravodlivé rozdelenie zdrojov.

🟫 Fyzikálny model – rovnováha síl na páke.
Predstavme si vodorovnú tyč (páku) uloženú na stredovej opore. Na jednom konci visí závažie s hmotnosťou $\small m_1$ vo vzdialenosti $\small r_1$ od stredu, na druhom konci závažie s hmotnosťou $\small m_2$ vo vzdialenosti $\small r_2$ .
Pre rovnováhu platí podmienka momentov síl:
$\small m_1 \cdot r_1=m_2 \cdot r_2.$
Ak poznáme celkovú hmotnosť $\small m_1+m_2=12 kg$ a vzdialenosti $\small r_1=0,3m$ , $\small r_2=0,53m$ , dostaneme sústavu:
$\small \begin{cases} m_1 + m_2 = 12 \\ 0{,}3 \cdot m_1 = 0{,}5 \cdot m_2 \end{cases}$
odkiaľ $\small m_1=7,5$ , $\small m_2=4,5.$
🧩 Didaktické prepojenie
- - Ukazuje fyzikálnu rovnováhu momentov ako obraz algebraickej rovnováhy rovníc.
  - Môže byť vizualizované v GeoGebre alebo prostredníctvom interaktívnej animácie (tyč s posuvníkmi pre hmotnosti a vzdialenosti).
  - Vhodné pre interdisciplinárne prepojenie matematiky a fyziky – študenti vidia, že rovnice opisujú stav rovnováhy, nie len číselný výpočet.
🟫 Ekonomický model – rozdelenie nákladov
Dvaja cestujúci sa dohodli, že si spravodlivo rozdelia náklady na výlet. Spolu zaplatili 60 €, pričom benzín stál o 20 € viac než mýto..
Nech (\small x \) je mýto a (\small y \) cena benzínu. Potom dostaneme sústavu:
$\small \begin{cases} x + y = 60 \\ y = x+20 \end{cases}$
odkiaľ $\small x=20$ , $\small y=40.$
🧩 Didaktické prepojenie
- - Prístupné pre žiakov a študentov bez potreby špeciálneho fyzikálneho kontextu.
  - Umožňuje zmysluplne interpretovať priesečník dvoch priamok (výdavky celkom × rozdelenie).
  - V GeoGebre možno zadať rovnice a pozorovať priesečník (20, 40).

$$\small .$ $

Sústava lineárnych rovníc

Lineárna rovnica.
Rovnicu tvaru

$\small ax + by = c$ , kde

$a \neq 0 \vee b \neq 0$ nazývame lineárnou rovnicou s dvoma neznámymi

$\small x,y$ .

Rovnice tvaru

$\small ax + by = c$ , kde

$\small a \neq 0 \vee b \neq 0$

$\small dx+ey=f$ , kde

$\small d \neq 0 \vee e \neq 0$
nazývame sústavou dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi.

Sústava lineárnych rovníc.
Vo všeobecnosti definujeme sústava

$\small m$ lineárnych rovníc o

$\small n$ neznámych ako množinu rovníc

$\small \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2+ \dots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases} .$

Pri riešení sústavy dvoch rovníc s dvoma neznámymi využívame 3 metódy:

dosadzovaciu (substitučnú) metódu;
sčítaciu (adičnú) metódu;
porovnávaciu (komparačnú) metódu.

Dosadzovacia (substitučná) metóda.
Táto metóda spočíva v tom, že z jednej rovnice si vyjadríme jednu neznámu a výraz ktorý takto dostaneme, dosadíme za túto neznámu do druhej rovnice.
Takto dostaneme rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime. Následne dosadením vypočítame i druhú neznámu.

Príklad 1.
Riešte sústavu rovníc

$\small 2x - 3y = 5$

$\small x - 2y = 1$
s neznámymi

$\small x, y \in R.$

Riešenie.
Z prvej rovnice si vyjadríme napr. neznámu

$x$ :

$\small 2x - 3y = 5 /+3y$

$\small 2x = 5 + 3y /:2$

$\small x =\frac {5}{2}+\frac{3}{2}y$
Výraz, ktorý sme získali dosadíme do druhej rovnice za neznámu

$x$ :

$\small \frac{5}{2} + \frac{3}{2} -2y=1$
Získali sme lineárnu rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime:

$\small \frac{5}{2}+ \frac{3}{2}-2y=1 / \cdot2$

$\small 5 + 3y - 4y = 2$

$\small 5 - y = 2 /-5$

$\small -y = -3 / \cdot (-1)$

$\small y = 3$
Získanú neznámu dosadíme do upravenej 1. rovnice a vypočítame neznámu

$x$ :

$\small x = 5/2 + 3/2 . 3 = 5/2 + 9/2 = 14/2 = 7$
Skúšku správnosti robíme dosadením vypočítaných hodnôt neznámych do obidvoch rovníc:

$\small L'_1 = 2 \cdot 7 - 3 \cdot 3 = 14 - 9 = 5$

$\small P_1 = 5$

$\small L'_1 = P_1$

$\small L' _2 = 7 - 2 \cdot 3 = 1$

$\small L'_2 = P_2$
Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica

$\small [x; y] = [7; 3].$

Cvičenie.
Riešte sústavu rovníc

$\small 3a - 5b = 1$

$\small 4a - 3b = 5$
s neznámymi

$a, b \in R$ dosadzovacou metódou.
Riešenie:
Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica [a; b] = [; ].

Sčítacia (adičná) metóda.
Táto metóda spočíva v tom, že každú rovnicu po úprave na základný tvar napr.

$\small 2x+3y=4$ vhodne násobíme tak, aby po sčítaní oboch rovníc jedna neznáma „vypadla“.

Takto dostaneme rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime. Pri „čistej“ sčítacej metóde to isté vykonáme i s druhou neznámou. V praxi je často využívaná kombinácia sčítacej a dosadzovacej metódy, čiže jednu neznámu určíme sčítacou metódou a druhú dosadením už známej hodnoty do niektorej z rovníc.

I túto metódu si radšej ukážeme na konkrétnom príklade.

Príklad 2.
Riešte sústavu rovníc

$\small 2x - 3y = 5$

$\small x – 2y = 1$
s neznámymi

$\small x, y \in R$ .

Riešenie.
Chceme určiť napr. neznámu

$x$ , teda potrebujeme, aby „vypadla“ neznáma

$y$ . Násobíme teda prvú rovnicu číslom -2 a druhú rovnicu číslom 3.

$\small 2x - 3y = 5 / \cdot(-2)$

$\small x - 2y = 1 / \cdot 3$

$\small -4x + 6y = -10$

$\small 3x - 6y = 3$

Teraz obe rovnice sčítame:

$\small -4x + 3x + 6y - 6y = 3 - 10$

$\small -x = -7 / \cdot (-1)$

$\small x = 7$
Ak chceme kombinovať sčítaciu a dosadzovaciu metódu, tak hodnotu neznámej

$\small x$ , ktorú sme získali, dosadíme napr. do druhej rovnice za neznámu

$\small x$ :

$\small 7 - 2y = 1$ a z toho

$\small y = 3$ .
Skúšku správnosti robíme dosadením vypočítaných hodnôt neznámych do obidvoch rovníc:

$\small L´1 = 2 \in 7 - 3 \in 3 = 14 - 9 = 5$

$\small P1 = 5$

$\small L´1 = P1$

$\small L´2 = 7 - 2 \in 3 = 1$

$\small P2 = 1$

$\small L´2 = P2$
Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica

$\small [x; y] = [7; 3]$ .

Cvičenie:
Riešte sústavu rovníc

$\small 5c - 3d = 1$

$\small -c - 7d = 15$
s neznámymi

$c, d \in R$ kombináciou sčítacej a dosadzovacej metódy.
Riešenie:
Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica

$\small [c; d] = [ ; ].$

Porovnávacia (komparačná) metóda:
Táto metóda spočíva v tom, že z oboch rovníc si vyjadríme tú istú neznámu. Získané výrazy porovnáme a tak dostaneme rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime. Následne dosadením vypočítame i druhú neznámu.

Vypočítajme príklad.

Príklad 3.
Riešte sústavu rovníc

$\small 2x - 3y = 5$

$\small x - 2y = 1$
s neznámymi

$\small x, y \in R$ .

Riešenie.
Z prvej rovnice si vyjadríme napr. neznámu

$\small x$ :

$\small 2x - 3y = 5 / +3y$

$\small 2x = 5 + 3y /:2$

$\small x = 5/2 + 3/2y$
Z druhej rovnice si vyjadríme tiež neznámu

$\small x$ :

$\small x - 2y = 1 / +2y$

$\small x = 1 + 2y$
Keďže sa rovnajú ľavé strany oboch rovníc, tak sa rovnajú i pravé strany týchto rovníc, takže vytvoríme rovnicu

$P1=P2$ , ktorú vyriešime:

$\small 1 + 2y = 5/2 + 3/2y / \cdot 2$

$\small 2 + 4y = 5 + 3y / - 2 - 3y$

$\small y = 3$
Získanú hodnotu premennej y dosadíme napr. do upravenej druhej rovnice:

$\small x = 1 + 2 \cdot 3 = 7$
Skúšku správnosti robíme dosadením vypočítaných hodnôt neznámych do obidvoch rovníc podobne ako v príklade

$1$ a

$3$ .
Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica

$\small [x; y] = [7; 3]$ .

Cvičenie:
Riešte sústavu rovníc

$\small -3x + 2y = 0$

$\small 5x - 7y = -11$
s neznámymi

$x, y \in R$ porovnávacou metódou.
Riešenie:
Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica

$\small [x; y] = [ ; ].$

$$ .$ $

Riešený príklad

Otvorte si applet Tu. Postup konštrukcie v PDF formáte Tu.

$$ .$ $

Viac rovníc

Vstup Postupnosť

Otvorte si applet Tu, variant B Tu, variant C Tu.

Poznámky.
Existuje viacero www stránok, ktoré pomáhajú pri riešení sústav lineárnych rovníc. Napríklad stránka "Matrix calculator", pozrite si Tu.

$$ .$ $

🟩 Samostatná práca

Spracujte kapitoly z projektu "Sústava lineárnych rovníc - návrh osnovy" postupne od
1. podkapitoly 2.4. : CAS a algoritmizácia
  až po
2. kapitolu 3.2. : Didaktická analýza pojmu (vrátane tejto kapitoly).
Vytvorte pracovné listy pre rôzne typy sústavy lineárnych rovníc podľa priloženého vzoru. Otvorte si vzor - pracovný list Tu.
ZIP pre Overleaf si stiahnite Tu.

$$\small .$ $