Zhodné a podobné zobrazenia - cvičenia

Cvičenie  - osová súmernosť
Je daná priamka $p$ a body $A, B$ ležiace v tej istej polrovine s hraničnou priamkou $p$. Určte bod $X ∈ p$ tak, aby súčet $AX+ BX$ bol čo najmenší.
Riešenie Tu

Cvičenie - stredová súmernosť.
Sú dané dve sústredné kružnice $k_1(O,r_1); k_2(O,r_2); r_1> r_2$. A bod $S$ vo vnútri $k_2$. Zostrojte obdĺžnik $ABCD$ tak, že $A,B \in k_1 ; C,D \in k_2$ a bod $S$ je jeho stredom. Riešenie Tu.

Cvičenie - posunutie
Zostrojte rovnobežník ak sú dané veľkosti jeho strán $a, b$ a veľkosť $\phi$ uhla, ktorý zvierajú jeho uhlopriečky. Zadanie Tu

Cvičenie - posunutá súmernosť
Daný je pravidelný 6-uholník $ABCDEF$ a body $X, Y$, pričom $(ABX) = (DEY ) = 2$. Nájdite zhodné zobrazenie, ktoré zobrazí trojuholník $AXS$ do trojuholníka $Y DF$. Bude to priama alebo nepriama zhodnosť?
Riešenie
  Otvorte si applet Tu.

Cvičenie - rovnoľahlosť
Sú dané dva rôzne body $A,M$, ktorých vzdialenosť je $d$. Ďalej je dané kladné číslo $v$. Zostrojte kosoštvorec $ABCD$ s výškou $v$ tak ,aby bod $M$ bol stredom jeho strany $BC$.
(rozbor)
Riešenie. Križalkovič, K.: 500 riešených úloh z geometrie. Prík. 103.

Riešte nasledujúce úlohy

Osová súmernosť
1. Dané sú dva rôzne body $\small A,B$ neležiace na danej priamke $p$. Zostrojte bod $\small X$ na priamke $p$, taký, aby priamky $\small \overleftrightarrow{AX},\overleftrightarrow{BX}$ zvierali s priamkou $p$ ostré uhly, z ktorých jeden je dvakrát väčší ako druhý. Otvorte si zadanie Tu.
2. Zostrojte trojuholník $\small ABC$, ak poznáte $a + b, v_a, c$. Rozbor Tu.
3. Zostrojte kosoštvorec $\small ABCD$, ak je dané $\small e=AC, v_{AB}$. Rozbor Tu.
Stredová súmernosť; otáčanie
4. Sú dané dve sústredné kružnice $\small k_1(O,r_1); k_2(O,r_2); r_1> r_2$ a bod $\small S$ vo vnútri $k_2$. Zostrojte obdĺžnik $\small ABCD$ tak, že $\small A,B \in k_1 ; C,D \in k_2$ a bod $\small S$ je jeho stredom. Otvorte si zadanie Tu.
5. ♠ Zostrojte trojuholník $\small ABC$, ak poznáte $t_a, t_b, γ$. Rozbor Tu.
6. Je daný bod $\small S$ ležiaci vo vnútri ostrého uhla $\small KVM$. Zostrojte štvorec $\small ABCD$ taký, že $\small S$ je jeho stredom, bod $\small A$ leží na polopriamke $\small VK$ a bod $\small C$ na polpriamke $\small VM$. ^{[Davidova, str. 25]}
7. Do daného rovnobežníka vpíšte štvorec tak, aby jeho vrcholy ležali každý na inej strane rovnobežníka. Rozbor Tu.
8. Určte (konštrukčne) dĺžku strany rovnostranného trojuholníka $\small ABC$, ktorého vrcholy majú od nejakého pevne zvoleného vnútorného bodu $\small \triangle ABC$ vzdialenosti 5, 7, 8. [Larson, Príklad 8.1.16. Dostupné Tu].
   ♥ Určte (výpočtom) dĺžku strany. Existuje riešenie (všetky tri vzdialenosti a zároveň veľkosť strany trojuholníka) v obore prirodzených čísel?
9. Pomocou nástroja "Množina bodov" určite množinu všetkých ťažísk všetkých pravouhlých trojuholníkov so spoločnou preponou $\small AB$ .
   ♥ Dané sú body $\small A, A', A \neq B$. Otáčanie, ktoré zobrazí bod $\small A$ do bodu $\small A'$, zobrazí bod $\small B$ do určitého bodu $\small B'$. Čo vyplnia body $\small B'$, ktoré dostaneme všetkými takýmito otáčaniami?
Posunutie
10. Zostrojte rovnobežník ak sú dané veľkosti jeho strán $a, b$ a veľkosť $\phi$ uhla, ktorý zvierajú jeho uhlopriečky. Otvorte si zadanie Tu
11. ♠ Zostrojte lichobežník $\small ABCD: \;AB \parallel CD$, v ktorom sú dané veľkosti jeho strán pomocou posuvníkov. [Davidova, str. ...]
12. Sú dané dve rôznobežné priamky $a, b$ a úsečka $\small CD$. Zostrojte rovnobežník $\small ABCD$ tak, aby: $\small A∈a,B∈b$. Rozbor Tu.
13. Na ktorom mieste je potrebné zostrojiť most cez rieku, ktorá oddeľuje dve obce $\small A,B$ tak, aby cesta z obce $\small A$ do obce $\small B$ bola čo najkratšia. Brehy rieky sa predpokladajú navzájom rovnobežné a most má byť postavený kolmo na brehy rieky. Rozbor Tu.
Rovnoľahlosť
14. Zostrojte kružnicu, ktorá prechádza bodom $\small K$ a dotýka sa polpriamok $p, q$. Otvorte si zadanie Tu.
15. Zostrojte trojuholník $\small ABC$, ak je dané:
    1. $\small a : b = 4 : 5, γ = π/3, v_c$; Rozbor Tu
    2. ♠ $\small a + b, β = 45°, γ = 75°$, využite rovnoľahlosť so stredom $\small C$.
16. Zostrojme priamku $a$, ktorá prechádza daným bodom $\small A$ a neprístupným priesečníkom priamok $p, q$.
    Rozbor: Neprístupný priesečník priamok $p, q$ je stred rovnoľahlosti. Applet Tu
17. Je daná kružnica $\small k = k(S, r)$ a bod $\small A$, ktorý leží zvonku kružnice. Zostrojte sečnicu kružnice $k$ tak, aby obsahovala bod $\small A$, pretínala $k$ v bodoch $\small X, Y$ a aby platilo $\small |AX| = 3|AY |$.^{[1, rovnoľahlosť, pr. 1]} Applet Tu.
18. Sú dané dve rôznobežky $a,b$, ktoré sa pretínajú v bode $P$ a bod $A; A \in a, A \neq P$. Zostrojte všetky kružnice, ktoré sa dotýkajú priamky $a$ v bode $A$ a zároveň sa dotýkajú priamky $b$. Riešte úlohu aj pre prípad $A \notin a, A \notin b$.
Vety o zhodnosti trojuholníkov
19. Dokážte, že v rovnobežníku
    1. protiľahlé strany sú zhodné a rovnobežné,
    2. protiľahlé vnútorné uhly sú zhodné,
    3. uhlopriečka delí rovnobežník na dva zhodné trojuholníky.
20. Bod $S$ je stredom základne $AB$ rovnoramenného trojuholníka $ABC$. Bodom $S$ sú vedené kolmice k ramenám $AC$ a $BC$. Päty týchto kolmíc označíme $K, L$. Dokážte, že trojuholník $ASK$ je zhodný s trojuholníkom $BSL$.
21. Je daný trojuholník $ABC$  a priamka $p$ , na ktorej leží ťažnica $t_c$ trojuholníka. Dokážte, že body $A, B$ majú od priamky $p$ rovnakú vzdialenosť.
22. ♥ Daná je úsečka $AA_0$ a priamka $p$. Zostrojte trojuholník $ABC$ s vrcholom $A$ a výškou $AA_0$, ktorého ťažisko a stred kružnice opísanej ležia na priamke $p$. ^[4]
23. ♥ Zostrojte trojuholník $ABC$, ak sú dané: ťažnica $t_a$, výška $v_a$, uhol $∢BAC$.  
    

Zbierky úloh
[1] Chalmovianska, J.: Zbierka úloh - osová súmernosť, stredová súmernosť, otáčanie, posunutie, rovnoľahlosť
[2] Vinkler, M.: Konstrukční úlohy. Dostupné Tu
[3] Riešené príklady Tu
[4] 56. ročník matematickej olympiády, šk. rok 2006/2007, úloha B – I – 6. Dostupné Tu.
[5] Davidová, E.: Řešení planimetrických úloh - konštrukční a početní úlohy. Dostupné Tu.
[6]Martišek, D.: Planimetrie. Dostupné na internete Tu

Osová súmernosť
1. Dané sú dva rôzne body $\small A,B$ neležiace na danej priamke $p$. Zostrojte bod $\small X$ na priamke $p$, taký, aby priamky $\small \overleftrightarrow{AX},\overleftrightarrow{BX}$ zvierali s priamkou $p$ ostré uhly, z ktorých jeden je dvakrát väčší ako druhý.
   
   Konštrukcia Tu .
2. Zostrojte trojuholník $\small ABC$, ak poznáte $a + b, v_a, c$. Konštrukcia Tu.
3. Zostrojte kosoštvorec $\small ABCD$, ak je dané $e=AC, v_{AB}$. Konštrukcia Tu.
Stredová súmernosť; otáčanie
4. Sú dané dve sústredné kružnice $\small k_1(O,r_1); k_2(O,r_2); r_1> r_2$ a bod $\small S$ vo vnútri $k_2$. Zostrojte obdĺžnik $\small ABCD$ tak, že $\small A,B \in k_1 ; C,D \in k_2$ a bod $\small S$ je jeho stredom.
   
   Konštrukcia Tu
5. Zostrojte trojuholník $\small ABC$, ak poznáte $t_a, t_b, γ$. Konštrukcia Tu.
6. Je daný bod $\small S$ ležiaci vo vnútri ostrého uhla $\small KVM$. Zostrojte štvorec $\small ABCD$ taký, že $\small S$ je jeho stredom, bod $\small A$ leží na polopriamke $\small VK$ a bod $\small C$ na polpriamke $\small VM$. Konštrukcia Tu. ^{[Davidova, str. 25]} 
7. Do daného rovnobežníka vpíšte štvorec tak, aby jeho vrcholy ležali každý na inej strane rovnobežníka. ^{[Davidova, str. 37]}
8. Larson - riešenie Tu. Strana má veľkosť $\small  \sqrt{129}$. Pre (3, 5, 7) má strana veľkosť 8.
Posunutie
9. Zostrojte rovnobežník ak sú dané veľkosti jeho strán $a, b$ a veľkosť $\phi$ uhla, ktorý zvierajú jeho uhlopriečky.
   
   Konštrukcia Tu
10. Zostrojte lichobežník $\small ABCD: \;AB \parallel CD$, v ktorom sú dané veľkosti jeho strán pomocou posuvníkov. ^{[Davidova, str. 31. Tu]} Rozbor Tu.
11. Sú dané dve rôznobežné priamky $a, b$ a úsečka $\small CD$. Zostrojte rovnobežník $\small ABCD$ tak, aby: $\small A∈a,B∈b$. ^{[6, str. 142]}
12. Na ktorom mieste je potrebné zostrojiť most cez rieku, ktorá oddeľuje dve obce $\small A,B$ tak, aby cesta z obce $\small A$ do obce $\small B$ bola čo najkratšia. Brehy rieky sa predpokladajú navzájom rovnobežné a most má byť postavený kolmo na brehy rieky.
    
    Konštrukcia Tu
Rovnoľahlosť
13. Sú dané dve rôznobežky $a,b$, ktoré sa pretínajú v bode $P$ a bod $A; A \in a, A \neq P$. Zostrojte všetky kružnice, ktoré sa dotýkajú priamky $a$ v bode $A$ a zároveň sa dotýkajú priamky $b$. Riešte úlohu aj pre prípad $A \notin a, A \notin b$. Rovnoľahlosť - riešenie Tu.
14. Zostrojte kružnicu, ktorá prechádza bodom $K$ a dotýka sa polpriamok $p, q$.
    
    Konštrukcia Tu.
15. Zostrojte trojuholník $\small ABC$, ak je dané:
    • $\small a : b = 4 : 5, γ = π/3, v_c$; Konštrukcia Tu
    • $\small a + b, β = 45°, γ = 75°$. Analogicky najprv uhol $\gamma$, potom uhol $\beta$ a rovnoľahlosť ...
16. a) Riešenie Tu

   Pr. 22: Rozbor Tu Zadanie Tu