GEOM: RŠM - domáce zadania | VirtualUMB

RŠM - domáce zadania

Termín: sobota, 25 decembra 2021, 21:40

Úlohy.

Narysujte pomocou programu GeoGebra nejaký obrázok, ktorý bude interpretovať rôzne geometrické útvary.
Požiadavka na dynamiku obrázku: narysované útvary bude možné premiestňovať.Pre inšpiráciu uvádzame obrázok od študentky rozširujúceho štúdia matematiky Mgr. Zuzany Pávovej z akademického roku 2021/2022.

Euklidovské konštrukcie

.

Daná je úsečka $\small BC$ a bod $\small A \notin BC$ . Zostrojte úsečku $\small AL$ , ktorá je zhodná s úsečkou $\small BC$ . (Euklides Kniha 1. T/II)
Rozdeľte úsečku $\small AB$ na tri rovnaké časti. Návod: Zostrojte rovnostranný trojuholník $\small ABC$ a nájdite jeho stred (napr. opísanej kružnice).

Úloha

- Poincaré model

Zostrojte hyperbolickú priamku prechádzajúcu bodom $\small P$ , ktorá je kolmá na priamku $\small AB$ , pričom $\small P \in AB$ .
Návod: Využitím Euklidovho tvrdenia T/XI zostrojte ... ;
Využite Poincare Disc vytvorený v prostredí GeoGebra, v ktorom vieme zostrojiť hyperbolickú úsečku, priamku a kružnicu. Disc si môžete stiahnuť Tu.

konštrukčné.

Zostrojte všetky pravouhlé trojuholníky $\small ABC ( \angle ACB = 90^ \circ )$ , pre ktoré platí: $\small tc = 3,5cm, b = 4cm$ .
Zostrojte trojuholník $\small ABC$ , ak poznáte veľkosť výšky $\small v_c$ , veľkosť uhla $\small \alpha$ a veľkosť polomeru opísanej kružnice $\small r$
Zostrojte trojuholník $\small ABC$ , ak je dané: $\small α = 60°, β = 45°$ a ťažnica $\small t_c=5cm$ . ^[1]
Zostrojte trojuholník $\small ABC$ , ak je dané: $\small a = 2 cm, b = 4,5 cm, r = 2,5 cm$ ( $\small r$ je polomer kružnice opísanej). (sus). ^[2]
Zostrojte dotyčnicový štvoruholník $\small ABCD$ , ak je dané: $\small a = 6 cm, b = 4 cm, ρ = 2 cm, α = 60°$ , kde $\small ρ$ je polomer kružnice vpísanej.^[1]
Ramená rovnoramenného trojuholníka so základňou dlhou $\small z$ majú v porovnaní so základňou trojnásobnú veľkosť. Vypočítajte obvod a obsah trojuholníka.
Je daná kružnica $\small k(S; r)$ a priamka $\small p$ , ktorá je jej sečnica. Nájdite všetky kružnice s polomerom $\small R$ , ktoré sa dotýkajú priamky $\small p$ aj kružnice $\small k$ .
Je daná kružnica $\small k(S; r=7cm)$ a bod $\small M$ , pre ktorý platí $\small MS=11cm$ . Zostrojte takú sečnicu kružnice k prechádzajúcu bodom $\small M$ , aby jeden jej priesečník bol stredom úsečky s krajnými bodmi v bode $\small M$ a druhý v druhom priesečníku.
Zostrojte kosoštvorec $\small ABCD$ , ak poznáte dĺžku strany $\small a$ a výšky $\small v_c$ (t.j. vzdialenosť bodu $\small C$ od úsečky $\small AB$ ).

miera

Dané sú tri nekolineárne body $\small A,B,C$ . Určte množinu (šrafovaním)
1. $\small \lbrace{X;XC \cap \overleftarrow{AB} \neq ∅ }\rbrace$
2. $\small \lbrace{X; \overrightarrow{XC} \cap \overleftrightarrow{AB}=∅ }\rbrace$ .
  Použite applet, v ktorom je nástroj na vyznačenie polroviny. Stiahnite si Tu.
Daný je trojuholník $\small ABC$ a body $\small X, Y, Z$ tak, že bod $\small X$ je stred strany $\small BC$ , $\small Y$ je stred úsečky $\small XC$ a $\small Z \in AY$ , pričom $\small AZ : ZY = 1 : 2.$ . Určte obsahy všetkých štyroch neprekrývajúcich sa častí, na ktoré je trojuholník $\small ABC$ rozdelený (pozri obrázok), ak pre obsah trojuholníka platí $\small S_{ABC} = 12$ .
Rozdeľte obdĺžnik na sedem neprekrývajúcich sa trojuholníkov, ktorých obsahy tvoria $\frac{1}{12}; \frac{1}{12}; \frac{1}{12}; \frac{1}{2}; \frac{1}{16} ; \frac{1}{16} ;\frac{1}{8}$ z obsahu obdlžnika.

Pytagorova a Euklidove vety

Určte $\small (b, c, c_a, c_b, α, β)$ v pravouhlom trojuholníku $\small ABC, γ =90^\circ$ , ak je dané: $\small a =5, v =3$ .
Do štvorca $\small ABCD$ so stranou $\small a$ je vpísaný rovnostranný trojuholník $\small KLM$ , pričom $\small K=A, L \in BC, M \in CD$ . Určte dĺžku strany trojuholníka.

[1] Davidová, E.: Řešení planimetrických úloh. Ostrava 2006. Dostupné Tu.
[2] Vinkler, M.: Konstrukční úlohy. Dostupné Tu

$<span class="nolink">\( .$ \)