Vybrané úlohy z matematickej olympiády
Množiny bodov danej vlastnosti.
- Daná je kružnica
a vnútri nej bod
.
- Určte množinu stredov všetkých tetív kružnice
, ktoré prechádzajú bodom
. Návod Tu.
- Určte množinu bodov, ktoré sú stredom nejakej jej tetivy, ktorá neobsahuje bod
.
- V rovine je daný ostrouhlý trojuholník
. Uvažujme ľubovoľný pravouholník
, ktorý je trojuholníku
opísaný tak, že bod
leží na strane
a bod
leží na strane
. Určte množinu priesečníkov
uhlopriečok
všetkých takých pravouholníkov
. (Kat. A; 2004/2005; celoštátne kolo; úloha 4A - III - 4, znenie Tu.) Applet s riešením Tu.
- V rovine je daný rovnoramenný trojuholník
so základňou
. Uvažujme ľubovoľné dve kružnice
, ktoré majú vonkajší dotyk a ktoré sa dotýkajú priamok
postupne v bodoch
. Určte množinu dotykových bodov
všetkých takých kružníc
. (Kat. A; 2004/2005; celoštátne kolo; úloha 4) Tu.
- V rovine sú dané dve kružnice
, pričom
. Nájdite množinu všetkých bodov
, ktoré neležia na priamke
a majú tú vlastnosť, že úsečky
pretínajú postupne kružnice
v bodoch, ktorých vzdialenosti od priamky
sa rovnajú. (Kat. A; 2013/2014; krajské kolo; úloha 2, zadanie a riešenie Tu.) Applet s riešením Tu.
Rovnoľahlosť.
- Daná je úsečka
a priamka
. Zostrojte trojuholník
s vrcholom
a výškou
, ktorého ťažisko a stred kružnice opísanej ležia na priamke
. Pozri 56. ročník MO, šk. rok 2006/2007, úloha B – I – 6. Riešenie - applet Tu.
- Označme
stred kružnice vpísanej pravouhlému trojuholníku
s pravým uhlom pri vrchole
. Ďalej označme
stredy úsečiek
. Dokážte, že priamka
je dotyčnicou kružnice opísanej trojuholníku
. Kat. A; 2020/2021; celoštátne.; úloha 2. Riešenie - applet Tu. Návod Tu.
- V rovine sú dané dva rôzne body
. Určte množinu ortocentier všetkých trojuholníkov
, pre ktoré je bod
stredom kružnice opísanej. Kat. A; 2019/2020; domáce kolo; úloha 2. Riešenie - applet Tu.
- Dané sú dve rôznobežky
prechádzajúce bodom
, ktorý na nich neleží. Zostrojte pravouholník
s vrcholmi
postupne na priamkach
. Kat. B; 2011/2012; domáce kolo; úloha 4. Riešenie - applet Tu.
- V rovine ω sú dané dva rôzne body
. Nájdite množinu vrcholov všetkých trojuholníkov, ktoré ležia v rovine
a majú ťažisko v bode
a stred opísanej kružnice v bode
. Kat. A; 2008/2009; celoštátne kolo; úloha 6. Riešenie - applet Tu.
Rôzne úlohy.
Poznámky.
Last modified: Sunday, 22 October 2023, 4:06 PM