Interaktívna geometria - planimetria
Zobrazenia
Rovnoľahlosť
Definícia.
Podobné zobrazenie (podobnosť) je zobrazenie, v ktorom obrazom každej úsečky je úsečka , ktorej veľkosť je -násobkom veľkosti úsečky ( ).
Podobné zobrazenie (podobnosť) je zobrazenie, v ktorom obrazom každej úsečky je úsečka , ktorej veľkosť je -násobkom veľkosti úsečky ( ).
V každom podobnom zobrazení platí:
Definícia (Rovnoľahlosť).
Je daný bod a reálne číslo . Rovnoľahlosť (homotétia) je zobrazenie , ktoré priraďuje:
Je daný bod a reálne číslo . Rovnoľahlosť (homotétia) je zobrazenie , ktoré priraďuje:
Otvorte si applet Tu.
Poznámka.
Rovnoľahlosť je podobnosť s koeficientom . Pre je identitou, pre rotáciou okolo o 180° (aj stredovou súmernosťou so stredom v bode ).
Pre je jediným samodružným bodom stred . Samodružnou priamkou je každá priamka, ktorá prechádza stredom rovnoľahlosti. Pozrite si súbor appletov od Martina Vinklera Tu.
Rovnoľahlosť je podobnosť s koeficientom . Pre je identitou, pre rotáciou okolo o 180° (aj stredovou súmernosťou so stredom v bode ).
Pre je jediným samodružným bodom stred . Samodružnou priamkou je každá priamka, ktorá prechádza stredom rovnoľahlosti. Pozrite si súbor appletov od Martina Vinklera Tu.
Rovnoľahlosť je špeciálne podobné zobrazenie. To znamená, že má všetky vlastnosti podobného zobrazenia.
Naviac má vlastnosť, že v rovnoľahlosti odpovedajúce priamky (vzor a obraz) sú rovnobežné.
Naviac má vlastnosť, že v rovnoľahlosti odpovedajúce priamky (vzor a obraz) sú rovnobežné.
Vľavo. V rovnoľahlosti platí: . Vpravo. Podobné zobrazenie zložené z rovnoľahlosti a otáčania.
Otvorte si applet Tu.
Veta 1.
V rovnoľahlosti :
V rovnoľahlosti :
- každé dve rovnoľahlé priamky sú rovnobežné,
- každé dve rovnobežné a nezhodné úsečky sú rovnoľahlé dvomi spôsobmi,
- každé dve nezhodné kružnice sú rovnoľahlé, pričom stredy rovnoľahlosti ležia na strednej kružníc,
- spoločné dotyčnice dvoch kružníc prechádzajú odpovedajúcimi stredmi rovnoľahlostí (vnútorným a vonkajším stredom rovnoľahlosti).
Otvorte si applet Tu.
Veta 2.
Nech sú dve kružnice rovnoľahlé, ich vonkajší stred rovnoľahlosti je bod , vnútorný stred rovnoľahlosti . Potom platí
, .
Nech sú dve kružnice rovnoľahlé, ich vonkajší stred rovnoľahlosti je bod , vnútorný stred rovnoľahlosti . Potom platí
, .
Veta 3.
Zložením rovnoľahlosti a zhodného zobrazenia dostaneme podobné zobrazenie.
Každé podobné zobrazenie možno získať zložením vhodného zhodného zobrazenia a rovnoľahlosti >.
Zložením rovnoľahlosti a zhodného zobrazenia dostaneme podobné zobrazenie.
Každé podobné zobrazenie možno získať zložením vhodného zhodného zobrazenia a rovnoľahlosti >.
Cvičenie 1.
Do daného trojuholníka vpíšte štvorec tak , aby strana ležala na strane , bod ležal na strane a bod na strane .
Riešenie v práci [RUM], str. 98.
Do daného trojuholníka vpíšte štvorec tak , aby strana ležala na strane , bod ležal na strane a bod na strane .
Riešenie v práci [RUM], str. 98.
Cvičenie 2.
Sú dané dva rôzne body , ktorých vzdialenosť je . Ďalej je dané kladné číslo . Zostrojte kosoštvorec s výškou tak ,aby bod bol stredom jeho strany .
Sú dané dva rôzne body , ktorých vzdialenosť je . Ďalej je dané kladné číslo . Zostrojte kosoštvorec s výškou tak ,aby bod bol stredom jeho strany .
Otvorte si rozbor úlohy Tu. Riešenie v práci [KRIZ], príklad 103.