Východiská

Za zakladateľa teórie množín je považovaný Georg Cantor. Teória množín je založená na dvoch primitívnych pojmoch, ktoré nedefinujeme.
Základným východiskom teórie množín sú primitívne pojmy
  1. množina
  2. prvok
Cantorovská (naivná) teória množín tieto pojmy nedefinuje.
Cantor množinu chápe intuitívne ako súbor objektov (prvkov), pri ktorom možno jednoznačne rozhodnúť, ktoré objekty do neho patria a ktoré nie. Množiny budeme označovať veľkými písmenami \small A, B, ..., M, ... a prvky množiny malými písmenami a, b,, ...,x, ... .
Veta.
Pre ľubovoľnú množinu \small M a ľubovoľný prvok x platí práve jeden z výrokov:
  1. Prvok x patrí do množiny \small M. Označujeme x \in \small M.
  2. Prvok x nepatrí do množiny \small M. Označujeme x \notin \small M.
Cantorov prístup, pri ktorom je pojem množiny definovaný intuitívne a voľne, budeme nazývať naivná teória množín. Tento prístup sa používa v mnohých matematických disciplínach. Na začiatku 20. storočia sa však ukázalo, že naivný pohľad na množiny môže viesť k rôznym paradoxom. Ako ilustráciu popíšeme Russellov paradox. Uvažujme o množine všetkých množín, ktorú označíme \small S. Definujme podmnožinu pomocou primitívneho vzťahu "prvok x nepatrí množine \small A". Symbolicky x \notin \small A". Táto vlastnosť určí množinu (množinu podmnožín) \small S = \lbrace{ {X; X \notin X}}\rbrace .
Má množina \small S takúto vlastnosť?
  1. Ak ju má \small S \notin S, tak \small S \in S, čo je spor.
  2. Ak ju nemá  \small S \in S, tak podľa definície množiny musí platiť \small S ∈ S, čo je spor.
Poznámka.
V Cantorových prácach sa objavili viaceré významné výsledky teórie množín. Napriek tomu však stále nešlo o úplne axiomatickú teóriu množín.
\( .\)