Naivná a axiomatická teória množín

1. množina
2. prvok

1. Prvok $x$ patrí do množiny $\small M$. Označujeme $x \in \small M$.
2. Prvok $x$ nepatrí do množiny $\small M$. Označujeme $x \notin \small M$.

1. Ak ju má $\small S \notin S$, tak $\small S \in S$, čo je spor.
2. Ak ju nemá  $\small S \in S$, tak podľa definície množiny musí platiť $\small S ∈ S$, čo je spor.

1. $\overline{ \lbrace{1}\rbrace}=T_1= \lbrace{ {\lbrace{0}\rbrace ,\lbrace{1}\rbrace ,...,\lbrace{n}\rbrace ,...}}\rbrace$, ktorá obsahuje všetky $1-$ prvkové podmnožiny;
2. $\overline{ \lbrace{1,2}\rbrace}=T_2 = \lbrace{ {\lbrace{0,1}\rbrace ,\lbrace{0,2}\rbrace ,...,\lbrace{0,n}\rbrace ,...}}\rbrace$, ktorá obsahuje všetky $2-$ prvkové podmnožiny;
3. ... 
4. $\overline{ \lbrace{1,2,...,n}\rbrace}=T_n = \lbrace{ {\lbrace{0,1,...,n}\rbrace ,...,\lbrace{1,2,...,n+1}\rbrace ,...}}\rbrace$, ktorá obsahuje všetky $n-$ prvkové podmnožiny:

• $f: \small A \to \small B$ je injekcia, čo znamená, že každý prvok z $\small A$ je priradený k jedinečnému prvku v $\small B$.
• $g: \small B \to \small A$ je tiež injekcia, teda každý prvok z $\small B$ je priradený k jedinečnému prvku v $\small A$.

1. Predpoklady
   Máme dve množiny $\small A$ a $\small B$ a zobrazenia:
       $f: \small A \to \small B$ je injektívne (teda $f$ je funkcia, ktorá priraďuje rôzne prvky $a_1$ a $a_2$ z $\small A$ rôznym prvkom v $\small B$);
     $g: \small B \to \small A$ je tiež injektívne. Cieľom je nájsť bijekciu medzi $\small A$ a $\small B$, teda zobrazenie, ktoré je aj injektívne (jednoznačne priraďuje prvky) a surjektívne (každý prvok v $\small A$ má svoj obraz v $\small B$).
2. Zostavenie zobrazenia
   Začneme tým, že vytvoríme zobrazenie $h: \small A \to \small B$ pomocou $f$ a $g$.
   A. Rozdelíme množinu $\small A$ na disjunktné podmnožiny, ktoré budeme označovať ako **reprezentatívne triedy**. Tieto triedy sú definované pomocou cyklov zobrazenia $g$ a zobrazenia $f$.
   B. Pre každý prvok $a \in \small A$ hľadáme najbližší obraz v $\small B$, ktorý je spojený s $a$ cez $f$ a $g$. Týmto spôsobom vytvoríme "uzavretú" bijekciu.
3. Dôkaz injektivity a surjektivity
   **Injektivita:** Zobrazenie $h$ je injektívne, pretože pri zostavovaní $h$ používame injektívne zobrazenia $f$ a $g$, a každé spojenie medzi $\small A$ a $\small B$ je jedinečné.
   **Surjektivita:** Zobrazenie $h$ je surjektívne, pretože každý prvok $b \in \small B$ je dosiahnutý z nejakého $a \in \small A$, vďaka tomu, že $g$ je injektívne.
4. Uzavretie dôkazu
   Keďže $h$ je injektívne aj surjektívne, je to bijekcia, a preto $\small A$ a $\small B$ majú rovnakú kardinalitu.

Takýmto spôsobom sledujme všetkých predkov daného prvku a ∈ A tak dlho, ako to je len možné. Môžu nastať tri navzájom sa vylučujúce prípady:

1. každý predok daného prvku má rodiča; t.j. existuje nekonečná reťaz predkov,
2. prvok má takého predka v množine $\small A$, ktorý už nemá rodiča (reťaz končí v $\small A$),
3. prvok má takého predka v množine $\small B$, ktorý už nemá rodiča (reťaz končí v $\small B$).

$h(x) =
\begin{cases}
f(x), & \text{ak } x \in \small A_1 \cup \small A_3, \\
g^{-1}(x), & \text{ak } x \in \small A_2.
\end{cases}$,

1. Operácie zjednotenie aj prienik množín sú komutatívne aj asosiatívne.
2. $\small A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)$ (distributívnosť).
3. $\small ∅ ⊆ A; A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B$.
4. $\small A - (B ∩ C) = (A - B) ∪ (A - C), A - (B ∪ C) = (A - B) ∩ (A - C).$
5. $\small A ∩ B ⊆ C$ práve vtedy, keď $\small A ⊆ C$ alebo $\small B ⊆ C$.

1. $\small A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)$;
2. $\small A × (B - C) = (A × B) - (A × C)$.

1. Množina všetkých párnych prirodzených čísel je spočítateľná.
2. Množina všetkých bodov danej úsečky je nespočítateľná.
3. Ľubovoľná podmnožina spočítateľnej množiny je spočítateľná množina.
4. Zjednotenie a prienik dvoch spočítateľných množín je spočítateľná množina.
5. Karteziánsky súčin dvoch spočítateľných množín je tiež spočítateľná množina.
6. Ukážte, že $\small \left| \mathbb{Z} \right| =\aleph_0$. (T.j. nájdite bijekciu medzi množinou celých čísel $\small \mathbb{Z}$ a množinou prirodzených čísel $\small \mathbb{N}$.)
7. Ukážete, že platí $\aleph_0 \cdot \aleph_0 = \aleph_0$. Dôsledok: množina racionálnych čísle je spočítateľná.
8. Dokážte, že pre ľubovoľné prirodzené čísla $x,y$ platí:
1. $x \cdot 0 = 0$             agresívnosť nuly 
2. $x \cdot y=y \cdot x$       komutatívnosť násobenia 
9. Využite vlastnosti karteziánskeho súčinu alebo matematickú indukciu.

1. Pomocou matematickej indukcie dokážte, že pre všetky prirodzené čísla $n \geq1$ platí:
1. $1^3+2^3+...+n^3= \frac{1}{4} n^2 (n+1)^2$
2. $3^{3n}-3.2^{2n+3}$ je násobkom čísla 23.
2. Doplňte miesto hviezdičiek číslice tak, aby výsledok bol správny: 8*06 – 78*8 = **8* .
3. Nájdite v desiatkovej číselnej sústave trojciferné číslo $LIK. (L,I,K) -$ sú cifry tohto čísla, pre ktorého druhú mocninu platí: $(LIK)^2=BUBLIK$.\).
4. V dvojcifernom čísle je jedna číslica väčšia do druhej o 1. Súčet druhých mocnín tohto čísla a čísla napísaného tými istými číslicami v obrátenom poradí je 1 553. Určte takéto dvojciferné číslo. [Cirjak, M. : Tvorivosť v matematike, str. 82].