Interaktívna geometria - planimetria
Zhodnosť a podobnosť trojuholníkov
Podobnosť
Definícia.
Dva trojuholníky
sú podobné, ak majú rovnaký pomer dĺžok odpovedajúcich si strán a odpovedajúce si uhly sú zhodné.
Dva trojuholníky
![\small △ABC, △A_1B_1C_1 \small △ABC, △A_1B_1C_1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d9550d2ee363c53236976b9acad7fb7d.png)
Trojuholník
je podobný trojuholníku
, práve vtedy keď existuje kladné číslo
také, že pre ich strany platí:
a pre ich uhly platí:
![\small △ABC \small △ABC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9512b932b3b21e978094441df24be1f6.png)
![\small △A_1B_1C_1 \small △A_1B_1C_1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/eaa03f7f17ecf663f11c34f447624c01.png)
![k k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/365c0b3ff8a6fa58b7ae709949b55608.png)
Definícia.
Pomer
nazývame koeficient podobnosti trojuholníkov.
Pre rôzne hodnoty koeficientu dostávame:
Pomer
![k k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/365c0b3ff8a6fa58b7ae709949b55608.png)
Rozbor.
Uvažujme teraz o ľubovoľnom trojuholníku
so stranami
.
Dôkaz. Z rozboru a priamo z konštrukcie vyplýva, že pre výšky v zostrojenom trojuholníku platia vstupné hodnoty.
- Hľadajme súvislosti medzi výškami trojuholníka a jeho stranami. Použijeme vzťah pro obsah
trojuholníka:
.
- Z neho vyplýva, že
a teda
.
- Označme
- Uvažujme o ľubovoľnom trojuholníku
so stranami
.
- Takýto trojuholník je podobný trojuholníku
, lebo pomer odpovedajúcich strán je konštantný.
Uvažujme teraz o ľubovoľnom trojuholníku
![\small KLM \small KLM](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5268c2474373b097a8ef0921ccfafa96.png)
![v_a,v_b,v_c v_a,v_b,v_c](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b0d37e2903f6eb692f7705a5787b960a.png)
-
V trojuholníku
označme jeho výšky
.
- Zrejme platí:
. Toto tvrdenie vyplýva z analýzy urobenej v druhom bode rozboru tejto úlohy.
- Po úprave dostaneme
.
- Konštrukciu začneme zostrojením trojuholníka
so stranami
Dôkaz. Z rozboru a priamo z konštrukcie vyplýva, že pre výšky v zostrojenom trojuholníku platia vstupné hodnoty.