Interaktívna geometria - planimetria
Geometria trojuholníka
Pytagorova a Euklidove vety
Veta (Pytagorova veta).
V každom pravouhlom trojuholníku
, v ktorom prepona má veľkosť
a odvesny majú veľkosti
platí
.
V každom pravouhlom trojuholníku
![\small ABC \small ABC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1185d08b7f77596d06c72d73d59c3d36.png)
![c c](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2b8412805efd6ae2233444f7704e9684.png)
![a,b a,b](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/36adb81bec09f02a0266d2aa4d55f036.png)
![\color\green{c^2}=\color\navy{a^2}+\color\red {b^2} \color\green{c^2}=\color\navy{a^2}+\color\red {b^2}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f0c16223973494dd6a5cb61e029aebe8.png)
Slovná formulácia Pytagorovej vety:
Obsah štvorca zostrojeného nad preponou pravouhlého trojuholníka je rovný súčtu obsahov štvorcov zostrojených nad jeho odvesnami.
Pytagorova veta je pomenovaná podľa starogréckeho matematika Pytagora, ktorý ju odvodil v 6. storočí pred Kr.
Obsah štvorca zostrojeného nad preponou pravouhlého trojuholníka je rovný súčtu obsahov štvorcov zostrojených nad jeho odvesnami.
Pytagorova veta je pomenovaná podľa starogréckeho matematika Pytagora, ktorý ju odvodil v 6. storočí pred Kr.
- Dôkazov Pytagorovej vety existuje veľmi veľa, viac ako 300, pozri na GeoGebre Tu.
- Vyhľadajte pôvodný Euklidov dôkaz v Knihe I, tvrdenie T/XLVII)
- Pozrite si dôkaz Pytagorovej vety v programe GeoGebra, ktorý vychádza z Euklidovho dôkazu. Otvorte si applet Tu.
- Iné dôkazy Pytagorovej vety nájdeme na stránke M. Viklera alebo Wikipedia.
- Dôkaz "bez slov" →. Doplňte "slová" pre tento dôkaz - urobte slovné/písomné zdôvodnenie.
Poznámky.
- Pytagorova veta pravdepodobne bola známa aj v iných starovekých civilizáciách, napríklad v Číne, Egypte.
- Starí Egypťania stavali pozoruhodné stavby, pri ktorých potrebovali vytyčovať aj pravé uhly. Robili to takto:
Veta (Obrátená pytagorova veta).
Ak v trojuholníku
platí pre dĺžky strán
, tak tento trojuholník je pravouhlý s preponou
.
Ak v trojuholníku
![\small ABC \small ABC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/cb30b9d797eef60829faab09589e3a61.png)
![c^2=a^2+b^2 c^2=a^2+b^2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c142403c8d866cf22ee2dd6db1be3c4b.png)
![c c](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2b8412805efd6ae2233444f7704e9684.png)
Príklad.
Dané sú sústredné kružnice
. Určte vzťah medzi obsahom medzikružia ohraničeného
kružnicami
a obsahom kruhu nad tetivou
kružnice
, ktorá sa dotýka kružnice
.
Riešenie Tu.
Preskúmajte súvislosť tejto úlohy s dôkazom Pytagorovej vety aplikáciou Mamikonovej vety (Wiki odkaz Tu). Otvorte si applet Tu
Dané sú sústredné kružnice
![\small k_1(S; r_1), k_2(S; r_2), r_1 > r_2 \small k_1(S; r_1), k_2(S; r_2), r_1 > r_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8327ffac5bed59a5d0cb34957a41e186.png)
![k_1, k_2 k_1, k_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d72b5febd31a3d9051e55573a5a174c6.png)
![\small XY \small XY](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/69c385a42e0784dcd88a7dcb7a54e16e.png)
![k_1 k_1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6b5b817cdad197f22e2a0352770951ec.png)
![k_2 k_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5ef5bb89b4556a7874584a31506a449d.png)
Preskúmajte súvislosť tejto úlohy s dôkazom Pytagorovej vety aplikáciou Mamikonovej vety (Wiki odkaz Tu). Otvorte si applet Tu
Pytagorova veta uvedená v Euklidových Základoch: Kniha 1, tvrdenie XLVII).
Veta (Pytagorova veta - znenie uvedené v Základoch).
V pravouhlých trojuholníkoch štvorec na strane oproti pravému uhlu ležiaci je rovný súčtu štvorcov na stranách, ktoré zvierajú pravý uhol.
V pravouhlých trojuholníkoch štvorec na strane oproti pravému uhlu ležiaci je rovný súčtu štvorcov na stranách, ktoré zvierajú pravý uhol.
Text Euklidovho dôkazu je spracovaný podľa českého prekladu od Františka Servíta z roku 1907, je doplnený o
(odkazy) na definície (Def.), axiómy (Post.), tvrdenia (T.) a Koncepcie / Zásady (Kon.)
Dôkaz.
-
je pravouhlý trojuholník s pravým uhlom
. Hovorím, že štvorec na
sa rovná (súčtom) štvorcov na
a
.
- Nech je narysovaný
-
Bodom
je vedená rovnobežka
k
alebo k
(T.31) a spojnice (úsečky)
a
. (Post.1)
-
Vzhľadom na to, že každý z uhlov
a
je pravý, z toho vyplýva, že priamkou
a bodom
na ňom dve priame línie
a
, ktoré nie sú ležiace na tej istej strane, spôsobujú, že susedné uhly sa rovnajú dvom pravým uhlom (Def.22)
- Pretože uhol
sa rovná uhlu
, pretože každý je pravý (Post.4)
- Keďže
sa rovná
a
sa rovná
(Def.22),
-
obe strany
a
sa rovnajú obom stranám
a
a
uholsa rovná uhlu
, preto základňa
sa rovná základni
a
trojuholníksa rovná (je zhodný) trojuholníku
. (T.4)
- Teraz rovnobežník
je dvakrát väčší ako trojuholník
, pretože majú rovnakú základňu
a
sú medzi tými istými rovnobežkamia
(majú spoločnú výšku). (T.41)
- A štvorec
je dvakrát väčší ako trojuholník
, pretože opäť majú rovnakú základňu
a
sú medzi tými istými rovnobežkamia
. (T.41)
- Preto sa rovnobežník
rovná štvorcu
. (Kon.2)
- Podobne, ak vedieme spojnice (úsečky)
a
, rovnobežník
sa rovná štvorcu
. Preto sa celý štvorec
rovná súčtu dvoch štvorcov
a
. (Kon.2)
-
A štvorec
je narysovaný na
a štvorce
a
na
a
. Teda štvorec na
sa rovná súčtu štvorcov na
a
.
V dôkaze boli použité tieto zdroje z Euklidových Základov:
- Definícia 22: Zo štvorstranných útvarov je štvorec, ktorý je rovnako rovnostranný a pravouhlý; obdĺžnik, ktorý je pravouhlý, ale nie rovnostranný; kosoštvorec, ktorý je rovnostranný, ale nie pravouhlý; kosodĺžnik, ktorý má opačné strany a uhly rovno navzájom, ale nie je ani rovnostranný, ani pravouhlý. Okrem týchto sú to štvoruholníky, ktoré sa nazývajú lichobežníky (rôznobežníky).
- Postulát 1: Nech je úlohou nakresliť priamku z ktoréhokoľvek bodu do ktoréhokoľvek bodu. Tento prvý postulát hovorí, že vzhľadom na akékoľvek dva body, ako sú A a B, existuje priamka AB, ktorá ich má ako koncové body. (Porovnaj s postulátom 5).
- Postulát 4: To, že všetky pravé uhly sa navzájom rovnajú.
- Tvrdenie 4: Ak dva trojuholníky majú dve strany rovnajúce sa dvom stranám a majú uhly obsiahnuté v rovnakých rovných priamkach rovnaké, potom majú tiež základňu rovnú základni, trojuholník sa rovná trojuholníku a zostávajúce uhly sa rovnajú zostávajúcim uhlom respektíve, a síce oproti rovnakým stranám. Veta o zhodnosti trojuholníkov - sus
- Tvrdenie 14: Ak na priamke a v bode na nej sú dve priamky, ktoré neležia na tej istej strane, sa súčet susedných uhlov rovná dvom pravým uhlom, potom sú tieto dve priamky navzájom k sebe v priamke (tvoria jednu priamku). Tvrdenie 31 Vytvor priamku cez daný bod rovnobežne s danou priamkou.
- Tvrdenie 41: Ak rovnobežník má rovnakú základňu s trojuholníkom a je medzi tými istými rovnobežkami, rovnobežník je dvakrát väčší ako trojuholník.
- Tvrdenie 46: Na danej priamke narysuj štvorec. (Súčasná matematická formulácia tejto vety: Nad danou úsečkou je možné narysovať štvorec.)
- Koncepcia/Zásada 2: Ak sú rovnosti pridané do rovnováhy, potom celky sú rovnaké.
- Koncepcia/Zásada 5: Celok je väčší než časť.
Cvičenie.
Vytvorte si vlastný applet, ktorým budete interpretovať Euklidov dôkaz Pytagorovej vety. Pozrite si náš návrh:
Vytvorte si vlastný applet, ktorým budete interpretovať Euklidov dôkaz Pytagorovej vety. Pozrite si náš návrh:
Veta (Euklidova veta o výške).
Obsah štvorca zostrojeného nad výškou pravouhlého trojuholníka sa rovná obsahu obdĺžnika zostrojeného z oboch úsekov prepony.
Obsah štvorca zostrojeného nad výškou pravouhlého trojuholníka sa rovná obsahu obdĺžnika zostrojeného z oboch úsekov prepony.
Dôkaz.
Nech v pravouhlom trojuholníku
s pravým uhlom pri vrchole
je
výška na preponu
.
Zrejme platí:
Z podobnosti trojuholníkov
a
vyplýva:
. Po úprave dostaneme vzťah
.
Tým je dôkaz Euklidovej vety o výške ukončený. Dôkaz, ktorý využíva zhodnosť od Vinklera nájdete Tu.
Nech v pravouhlom trojuholníku
![\small ABC \small ABC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1185d08b7f77596d06c72d73d59c3d36.png)
![\small C \small C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/12d338951ac52d50dbc2703c8dffbca1.png)
![\small v_c=CC_0 \small v_c=CC_0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6a4613d4285a295b96b43306f5a9bd61.png)
![\small AB \small AB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9746a9848728d4964db0c9892c6f0357.png)
Zrejme platí:
- výška
pravouhlého trojuholníka rozdelí trojuholník na ďalšie dva pravouhlé trojuholníky,
- päta výšky
rozdelí preponu na dva úseky priľahlé k odvesnám trojuholníka:
a
,
- zo vzťahu
dostávame
,
- všetky tri vzniknuté trojuholníky sú navzájom podobné:
.
Z podobnosti trojuholníkov
![\small ACB \sim AC_0C \small ACB \sim AC_0C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7b490c2f69bec7e43292ee3d5b2d2451.png)
![\small ACB \sim CC_0B \small ACB \sim CC_0B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9bca598bac3a7ee50447ba6008fea7a0.png)
![v_c : c_b = c_a : v_c v_c : c_b = c_a : v_c](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7c0019bbc53b3e18130da59fd865489f.png)
![{v_c}^2= c_a . c_b {v_c}^2= c_a . c_b](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/cc804b7351a53b44d16685d1b084e849.png)
Tým je dôkaz Euklidovej vety o výške ukončený. Dôkaz, ktorý využíva zhodnosť od Vinklera nájdete Tu.
Veta (Euklidova veta o odvesne).
Obsah štvorca zostrojeného nad odvesnou pravouhlého trojuholníka sa rovná obsahu obdĺžnika zostrojeného z prepony a priľahlého úseku.
Obsah štvorca zostrojeného nad odvesnou pravouhlého trojuholníka sa rovná obsahu obdĺžnika zostrojeného z prepony a priľahlého úseku.
Dôkaz.
Z podobnosti trojuholníkov
a
vyplýva:
. Po úprave dostaneme vzťah
.
Z podobnosti trojuholníkov
a
odvodíme druhú Euklidovu vetu
.
Z podobnosti trojuholníkov
![\small ABC \small ABC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/cb30b9d797eef60829faab09589e3a61.png)
![\small CBC_0 \small CBC_0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/266f4af5a817c70a52257225f500b597.png)
![a : c= c_a : a a : c= c_a : a](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0a69428ce5bff9c1422c300aafa09672.png)
![a^2= c . c_a a^2= c . c_a](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e7153f67f9c28419d4e505e327d048ba.png)
Z podobnosti trojuholníkov
![\small ABC \small ABC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/cb30b9d797eef60829faab09589e3a61.png)
![\small ACC_0 \small ACC_0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/cd95d2b05822f07e57eebe2382a306a2.png)
![b^2= c . c_b b^2= c . c_b](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/432fe6ce796c008928f26f02b416b567.png)
Cvičenie.
Dokážte Pytagorovu vetu pomocou Euklidových viet.
Dokážte Pytagorovu vetu pomocou Euklidových viet.