Variácie s opakovaním

Riešené úlohy

\( .\)
Riešené príklady
Príklad 1: Koľko trojciferných čísel môžeme vytvoriť z číslic \small 1,2,3,4,5, ak sa žiadna číslica neopakuje?
Riešenie.
Výsledok: \small V(5,3) = 60 .
Príklad 2: Koľko rôznych jedno až štvorciferných čísel môžeme vytvoriť z cifier \small 0, 1, 2, 3?
Riešenie.
Keby medzi ciframi nebola nula, tak počet všetkých jedno až štvorciferných čísel by bol súčet čísel
\small V(4,1)+V(4,2)+V(4,3)+V(4,3) = 4 + 12 + 24 + 24 = 64 .
Pre počet všetkých jedno až štvorciferných čísel začínajúcich nulou bude zrejme platiť
\small V(3,1)+V(3,2)+V(3,3) = 1 + 3 + 6 + 6 =16 .
Pre počet všetkých jedno až štvorciferných čísel z cifier \small 0, 1, 2, 3 je rovný
\small 64 - 16=48 .
Príklad 3: K vyhotoveniu vlajky, ktorá má byť zložená z troch rôznofarebných vodorovných pruhov, sú k dispozícii látky farby modrej, červenej, zelenej, bielej a žltej.
  1. Určte počet vlajok, ktoré možno z látok týchto 5 farieb zostaviť.
  2. Koľko ich má v strede modrý pruh?
  3. Koľko ich má (kdekoľvek) biely pruh?
  4. Koľko ich nemá uprostred červený pruh?
Riešenie.
Prvé tri prípady sú riešené metódou step by step Tu.
Štvrtý prípad
Všetky vlajky môžeme rozdeliť na dve disjunktné skupiny: v prvej skupine budú vlajky, ktoré majú uprostred červený pruh, v druhej skupine budú vlajky, ktoré červený pruh uprostred nemajú.
  • počet všetkých vlajok je 60 (pozri prípad 1))
  • počet vlajok, ktoré majú uprostred červený pruh, je 12 (prípad 2))
  • počet vlajok, ktoré uprostred červený pruh nemajú, je 60 - 12 = 48 .
Vytváranie farebnej zostavy/vlajky pomocou appletu. Zvoľte farbu a priraďte ju niektorému štvorčeku mriežky.
Príklad 4: Vytvorte všetky zostavy, ktoré sú zložené z 3 štvorčekov siete. Použite len 3 farby - modrú, červenú a žltú.
Príklad 5: Určite, koľkými spôsobmi sa v šesťmiestnej lavici môže posadiť šesť chlapcov, ak
  1. dvaja chcú sedieť vedľa seba;
  2. dvaja chcú sedieť vedľa seba a tretí chcú sedieť na kraji.
Riešenie.
  1. Dvaja chcú sedieť vedľa seba:
    Označme týchto dvoch chlapcov ako "blok" (napr. A a B). Tento blok môžeme umiestniť na 5 rôznych miest: (1-2), (2-3), ..., (5-6).
    V rámci bloku môžu byť usporiadaní 2 spôsobmi (AB alebo BA).
    Zostávajúcich 4 chlapcov môžeme usporiadať vo zvyšných 4 miestach ako 4! spôsobmi.
    Výpočet:
    Počet spôsobov = 5 × 2 × 4! = 5 × 2 × 24 = 240
  2. Dvaja chcú sedieť vedľa seba a tretí chce sedieť na kraji:
    Nech chcú dvaja sedieť spolu (označme ich ako A a B) a tretí (C) chce sedieť na jednom z krajov (miesto 1 alebo 6).
    Postup:
    • C môže sedieť na 2 miestach (1 alebo 6).
    • Po zafixovaní C ostáva 5 miest, do ktorých chceme umiestniť blok AB vedľa seba.
    • Pre dané miesto C musíme spočítať, na koľko spôsobov vieme umiestniť blok AB bez kolízie s C, a zvyšných 3 chlapcov rozmiestniť do voľných miest.
    Riešme najprv pre C na mieste 1:
    • Voľné miesta: 2,3,4,5,6
    • Možné pozície bloku AB: (2-3), (3-4), (4-5), (5-6) → 4 pozície
    • AB v bloku: 2 usporiadania
    • Ostávajú 3 chlapci → 3! = 6 spôsobov
    • Počet kombinácií pre C na kraji = 4 × 2 × 6 = 48
    To isté platí pre C na mieste 6:
    • Voľné miesta: 1,2,3,4,5
    • Možné pozície bloku AB: (1-2), (2-3), (3-4), (4-5)
    • Rovnaký počet kombinácií: 4 × 2 × 6 = 48
    Spolu: 48 + 48 = 96
  3. Riešené príklay - TeX